术语“功”在日常语言中用来表示完成一项任务所需的总努力量。在物理学中，它有一个依赖于“力”概念的技术含义。直观上，你可以将力理解为对物体的推或拉——例如，一个书本在桌面上的水平推动，或者地球对球的向下拉力。一般来说，如果一个物体沿着一条直线运动，位置函数为 $s(t)$，那么物体上的力 $F$（与运动方向相同）由牛顿第二运动定律给出，等于物体的质量 $m$ 与其加速度 $a$ 的乘积：

$$F=ma=m\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$$

在国际单位制（SI公制系统）中，质量以千克（kg）为单位，位移以米（m）为单位，时间以秒（s）为单位，力的单位是牛顿（N = kg·m/s²）。因此，对质量为1千克的物体施加1牛顿的力，会产生1米/秒²的加速度。在美国习惯制系统中，基本单位选择为力的单位，即磅（pound）。

在恒定加速度的情况下，力 $F$ 也是恒定的，所做的功定义为力 $F$ 与物体移动的距离 $d$ 的乘积：

$$W=Fd\text{功}=\text{力}\times \text{距离}$$

如果 $F$ 以牛顿为单位，$d$ 以米为单位，那么功 $W$ 的单位是牛顿·米，这叫做焦耳（J）。如果 $F$ 以磅为单位，$d$ 以英尺为单位，那么功的单位是英尺·磅（ft-lb），约等于1.36 J。

例1
(a) 将一个1.2千克的书从地上抬到0.7米高的桌子上，做了多少功？使用重力加速度 $g=9.8{\text{m/s}}^2$。

(b) 将一个20磅重的物体从地面抬到6英尺高，做了多少功？

解答
(a) 所施加的力与重力相等并相反，因此根据方程1有：

$$F=mg=(1.2)(9.8)=11.76\text{N}$$

然后根据方程2计算所做的功为：

$$W=Fd=(11.76\text{N})(0.7\text{m})\approx 8.2\text{J}$$

(b) 这里力 $F$ 给定为 $20\text{lb}$，因此做功为：

$$W=Fd=(20\text{lb})(6\text{ft})=120\text{ft-lb}$$

注意，在(b)部分，与(a)部分不同，我们不需要乘以 $g$，因为给定的是重量（即力），而不是物体的质量。

方程2定义了当力是恒定时的功，但如果力是变化的呢？假设物体沿着x轴在正方向上从 $x=a$ 移动到 $x=b$，并且在 $a$ 和 $b$ 之间的每一点 $x$ 处，一个力 $f(x)$ 作用在物体上，其中 $f$ 是一个连续函数。我们将区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个子区间，端点为 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，并且每个子区间的长度都是 $\Delta x$。我们在第 $i$ 个子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内选择一个采样点 $x_i^{\ast }$。那么在该点的力就是 $f(x_i^{\ast })$。如果 $n$ 很大，那么 $\Delta x$ 就很小，并且由于 $f$ 是连续的，函数 $f$ 的值在子区间 $[x_{i-1},x_i]$ 内不会变化太多。换句话说，$f$ 在该区间上几乎是常数，因此从 $x_{i-1}$ 到 $x_i$ 之间移动物体所做的功 $W_i$ 可以通过方程2近似表示为：

$$W_i\approx f(x_i^{\ast })\Delta x$$

因此，我们可以将总功近似为：

$$W\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$$

随着 $n$ 变大，这种近似看起来会越来越精确。因此我们定义将物体从 $a$ 移动到 $b$ 所做的功为当 $n\to \infty$ 时这个量的极限。因为等式(3)的右边是一个黎曼和，所以我们将它的极限认作为定积分，因此：

$$W=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x={\int }_a^{b}f(x)dx$$

例2 当一个粒子位于距离原点 $x$ 英尺的地方时，作用在其上的力为 $x^2+2x$ 磅。将它从 $x=1$ 移动到 $x=3$ 时，做了多少功

解答
$$W={\int }_1^3(x^2+2x)dx={\left[\frac{x^3}{3}+x^2\right]}_1^3=\frac{50}{3}$$

所做的功为 $16\frac{2}{3}$ 英尺-磅。

在下一个例子中，我们使用了一个物理定律。胡克定律指出，要保持弹簧被拉伸到超出其自然长度 $x$ 个单位所需的力与 $x$ 成正比：

$$f(x)=kx$$

其中 $k$ 是一个被称为弹簧常数的正数（参见图1）。胡克定律在 $x$ 不太大的情况下适用。

例3 要将一个弹簧从其自然长度的10厘米拉伸到15厘米，需要40牛顿的力。那么将弹簧从15厘米拉伸到18厘米时，做了多少功？

解答 根据胡克定律，将弹簧拉伸 $x$ 米超出其自然长度所需的力是 $f(x)=kx$。当弹簧从10厘米拉伸到15厘米时，拉伸的量是5厘米 = 0.05米。这意味着 $f(0.05)=40$，所以

$$0.05k=40k=\frac{40}{0.05}=800$$

因此 $f(x)=800x$，将弹簧从15厘米拉伸到18厘米所做的功为：

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_{0.05}^{0.08}800xdx=800{\left[\frac{x^2}{2}\right]}_{0.05}^{0.08}\\ & =400\left[(0.08{)}^2-(0.05{)}^2\right]=1.56\text{J}\end{array}$$

例4 一根重200磅、长100英尺的电缆从高楼顶端垂直悬挂。要将电缆提到楼顶，需要做多少功？

解答 这里我们没有力的公式，但可以使用类似于定义4的推理。
我们将原点放在楼顶，并将 $x$ 轴向下指，如图2所示。我们将电缆分成长度为 $\Delta x$ 的小部分。如果 $x_i^{\ast }$ 是第 $i$ 个小部分中的一个点，则该区间内所有点被提升的距离大约相同，即 $x_i^{\ast }$。电缆每英尺重2磅，因此第 $i$ 个小部分的重量是 $(2\text{lb/ft})(\Delta x\text{ft})=2\Delta x\text{lb}$。因此，第 $i$ 个部分所做的功（以英尺-磅为单位）为：

$$(2\Delta x)\cdot x_i^{\ast }=2x_i^{\ast }\Delta x$$

我们通过将所有这些近似值加起来并让部分数增大（即 $\Delta x\to 0$），得到总功：

$$\begin{array}{rl}W& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}2x_i^{\ast }\Delta x={\int }_0^{100}2xdx\\ & ={\left[x^2\right]}_0^{100}=10,000\text{ft-lb}\end{array}$$

例5 一个水箱的形状是倒置的圆锥体，高度为10米，底部半径为4米。水箱中的水充满到8米的高度。计算将水箱中的水全部泵到水箱顶部所需的功。（水的密度为1000 kg/m³。）

解答 我们将深度从水箱顶部开始测量，沿着垂直坐标线，如图3所示。水从深度2米延伸到深度10米。因此，我们将区间 [2, 10] 分成 $n$ 个子区间，端点为 $x_0,x_1,\dots ,x_n$，并选择 $x_i^{\ast }$ 为第 $i$ 个子区间中的点。这将水分成 $n$ 层。第 $i$ 层可用半径为 $r_i$ 和高度为 $\Delta x$ 的圆柱体近似表示。我们可以通过相似三角形计算 $r_i$，如下所示：

$$\frac{r_i}{10-x_i^{\ast }}=\frac{4}{10}{r}_i=\frac{2}{5}(10-x_i^{\ast })$$

因此，第 $i$ 层水的体积近似为：

$$V_i\approx \pi r_i^2\Delta x=\frac{4\pi }{25}(10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x$$

因此，它的质量为：

$$m_i=\text{密度}\times \text{体积}\approx 1000\cdot \frac{4\pi }{25}(10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x=160\pi (10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x$$

提升这一层所需的力必须克服重力，因此：

$$F_i=m_i\cdot g=(9.8)160\pi (10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x=1568\pi (10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x$$

这一层的每个粒子必须向上移动大约 $x_i^{\ast }$ 的距离。提升这一层到顶部所做的功 $W_i$ 近似为力 $F_i$ 和距离 $x_i^{\ast }$ 的乘积：

$$W_i\approx F_i{x}_i^{\ast }\approx 1568\pi x_i^{\ast }(10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x$$

为了计算排空整个水箱所做的总功，我们将每层的贡献相加，并取 $n\to \infty$ 的极限：

$$\begin{array}{rl}W& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}1568\pi x_i^{\ast }(10-x_i^{\ast }{)}^2\Delta x={\int }_2^{10}1568\pi x(10-x{)}^{2}dx\\ & =1568\pi {\int }_2^{10}(100x-20x^2+x^3)dx=1568\pi {\left[50x^2-\frac{20x^3}{3}+\frac{x^4}{4}\right]}_2^{10}\\ & =1568\pi \left(\frac{2048}{3}\right)\approx 3.4\times 10^6\text{J}\end{array}$$