1、哈希表简介

哈希表（Hash Table）：也叫做散列表，是根据关键码值（Key Value）直接进行访问的数据结构，可快速查找

实现思想：

哈希表通过「键 key 」和「映射函数 Hash(key) 」计算出对应的「值 value」，把关键码值映射到表中一个位置来访问记录，以加快查找的速度。
这个映射函数叫做「哈希函数（散列函数）」，存放记录的数组叫做「哈希表（散列表）」

可以将算法思想分为两个部分：

• 向哈希表中插入一个关键码值：哈希函数决定该关键字的对应值应该存放到表中的哪个区块，并将对应值存放到该区块中
• 在哈希表中搜索一个关键码值：使用相同的哈希函数从哈希表中查找对应的区块，并在特定的区块搜索该关键字对应的值

案例：使用 value = Hash(key) = key // 1000 作为哈希函数【// 整除】

• 向哈希表中插入一个关键码值：通过哈希函数解析关键字，并将对应值存放到该区块中
  • 如：0138 通过哈希函数 Hash(key) = 0138 // 100 = 0，得出应将 0138 分配到 0 所在的区块中
• 在哈希表中搜索一个关键码值：通过哈希函数解析关键字，并在特定的区块搜索该关键字对应的值
  • 如：查找 2321，通过哈希函数，得出 2321 应该在 2 所对应的区块中。然后我们从 2 对应的区块中继续搜索，并在 2 对应的区块中成功找到了 2321

哈希表的优势：

在顺序结构和平衡树中，元素关键码与它的存储位置之间没有对应映射关系，在查找时需要多次比较，而哈希表可以通过哈希函数建立元素关键码与存储位置之间的对应关系，查找时经过哈希函数的计算，可以算出元素对应的存储位置，直接到存储位置取出要查找的元素，不需要像顺序结构或者平衡树那样多次比较

2、哈希函数

2.1、概念

哈希函数（Hash Function）：将哈希表中元素的关键键值映射为元素存储位置的函数

一般来说，哈希函数会满足以下几个条件：

• 哈希函数应该易于计算，并且尽量使计算出来的索引值均匀分布
• 哈希函数计算得到的哈希值是一个固定长度的输出值
• 如果 Hash(key1) 不等于 Hash(key2)，那么 key1、key2 一定不相等
• 如果 Hash(key1) 等于 Hash(key2)，那么 key1、key2 可能相等，也可能不相等（会发生哈希碰撞）

在哈希表的实际应用中，关键字的类型除了数字类，还有可能是字符串类型、浮点数类型、大整数类型，甚至还有可能是几种类型的组合。一般我们会将各种类型的关键字先转换为整数类型，再通过哈希函数，将其映射到哈希表中

关于整数类型的关键字，通常用到的哈希函数方法有：直接定址法、除留余数法、平方取中法、基数转换法、数字分析法、折叠法、随机数法、乘积法、点积法等

2.2、常用的哈希函数

2.2.1、直接定址法

直接定址法：取 关键字本身 / 关键字的某个线性函数值 作为哈希地址。即：Hash(key) = key 或者 Hash(key) = a * key + b，其中 a 和 b 为常数

这种方法计算最简单，且不会产生冲突。适合于关键字分布基本连续的情况，如果关键字分布不连续，空位较多，则会造成存储空间的浪费

案例：我们有一个记录了从 1 岁到 100 岁的人口数字统计表。其中年龄为关键字，哈希函数取关键字自身，如下表所示

年龄	1	2	…	99	100
人数	2000	3000	…	5000	…

2.2.2、除留余数法

除留余数法：假设哈希表的表长为 m，取一个不大于 m 但接近或等于 m 的质数 p，利用取模运算，将关键字转换为哈希地址。即：Hash(key) = key % p，其中 p 为不大于 m 的质数

这是一种简单且常用的哈希函数方法。其关键点在于 p 的选择。根据经验而言，一般 p 取素数或者 m，这样可以尽可能的减少冲突

案例：需要将 7 个数 [432, 5, 128, 193, 92, 111, 88] 存储在 11 个区块中（长度为 11 的数组），通过除留余数法将这 7 个数应分别位于如下地址：

第一个数计算出索引位置：432 % 11 = 3

数据	88	111		432	92	5	193		128
索引	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

2.2.3、平方取中法

平方取中法：先通过求关键字平方值的方式扩大相近数之间的差别，然后根据表长度取关键字平方值的中间几位数为哈希地址

如：Hash(key) = (key * key) // 100 % 1000，先计算平方，去除末尾的 2 位数，再取中间 3 位数作为哈希地址

这种方法因为关键字平方值的中间几位数和原关键字的每一位数都相关，所以产生的哈希地址也比较均匀，有利于减少冲突的发生

2.2.4、基数转换法

基数转换法：将关键字看成另一种进制的数再转换成原来进制的数，然后选其中几位作为哈希地址

如：将关键字看做是 13 进制的数，再将其转变为 10 进制的数，将其作为哈希地址。以 343246 为例：

343246₁₃ = 3 * 13 ⁵ + 4 * 13 ⁴ + 3 * 13 ³ + 2 * 13 ² + 4 * 13 ¹ + 6 * 13 ⁰ = 1235110₁₀

3、哈希冲突

3.1、概念

哈希冲突：不同的关键字通过同一个哈希函数可能得到同一哈希地址，即 key1 ≠ key2，而 Hash(key1) = Hash(key2)，这种现象称为哈希冲突

理想状态下，我们的哈希函数是完美的一对一映射，即一个关键字（key）对应一个值（value），不需要处理冲突。但是一般情况下，不同的关键字 key 可能对应了同一个值 value，这就发生了哈希冲突

设计再好的哈希函数也无法完全避免哈希冲突。所以就需要通过一定的方法来解决哈希冲突问题。

常用的哈希冲突解决方法主要是两类：

• 开放地址法
• 链地址法

3.2、开放地址法【闭散列：key存放到冲突位置的“下一个”空位置】

开放地址法（Open Addressing）：指的是将哈希表中的「空地址」向处理冲突开放。当哈希表未满时，处理冲突时需要尝试另外的单元，直到找到空的单元为止

当发生冲突时，开放地址法按照下面的方法求得后继哈希地址：H(i) = (Hash(key) + F(i)) % m，i = 1, 2, 3, …, n (n ≤ m - 1)

• H(i)：在处理冲突中得到的地址序列。即在第 1 次冲突（i = 1）时经过处理得到一个新地址 H(1)，如果在 H(1) 处仍然发生冲突（i = 2）时经过处理时得到另一个新地址 H(2) …… 如此下去，直到求得的 H(n) 不再发生冲突
• Hash(key)：哈希函数，m 是哈希表表长，对哈希表长取余的目的是为了使得到的下一个地址一定落在哈希表中
• F(i) ：冲突解决方法，取法可以有以下几种
  • 线性探测法：$F(i)=1,2,3,...,m-1$。
  • 二次探测法：$F(i)=1^2,-1^2,2^2,-2^2,...,\pm n^2(n\le m/2)$。 【负数表示向前，正数表示向后】
  • 伪随机数序列：$F(i)=伪随机数序列$

案例：在长度为 11 的哈希表中已经填有关键字分别为 28、49、18 的记录（哈希函数为 Hash(key) = key % 11）。现在将插入关键字为 38 的新纪录。根据哈希函数得到的哈希地址为 5，产生冲突。

接下来分别使用这三种冲突解决方法处理冲突：

• 线性探测法：得到下一个地址 H(1) = (5 + 1) % 11 = 6，仍然冲突；继续求出 H(2) = (5 + 2) % 11 = 7，仍然冲突；继续求出 H(3) = (5 + 3) % 11 = 8，8 对应的地址为空，处理冲突过程结束，记录填入哈希表中序号为 8 的位置
• 二次探测法：得到下一个地址 H(1) = (5 + 1¹) % 11 = 6，仍然冲突；继续求出 H(2) = (5 - 1¹) % 11 = 4，4 对应的地址为空，处理冲突过程结束，记录填入哈希表中序号为 4 的位置
• 伪随机数序列：假设伪随机数为 9，则得到下一个地址 H(1) = (9 + 5) % 11 = 3，3 对应的地址为空，处理冲突过程结束，记录填入哈希表中序号为 3 的位置

如下图：

闭散列方式最大的问题就在于，若整个哈希表冲突比较严重，此时查找元素的过程就相当于遍历数组，查找效率退化为O(N)

3.3、链地址法【开散列：冲突位置变为链表】

链地址法（Chaining）：将具有相同哈希地址的元素（或记录）存储在同一个线性链表中

假设哈希函数产生的哈希地址区间为 [0, m - 1]，哈希表的表长为 m。则可以将哈希表定义为一个有 m 个头节点组成的链表指针数组 T：

• 这样在插入关键字的时候，我们只需要通过哈希函数 Hash(key) 计算出对应的哈希地址 i，然后将其以链表节点的形式插入到以 T[i] 为头节点的单链表中。在链表中插入位置可以在表头或表尾，也可以在中间。如果每次插入位置为表头，则插入操作的时间复杂度为 $O(1)$
• 而在在查询关键字的时候，我们只需要通过哈希函数 Hash(key) 计算出对应的哈希地址 i，然后将对应位置上的链表整个扫描一遍，比较链表中每个链节点的键值与查询的键值是否一致。查询操作的时间复杂度跟链表的长度 k 成正比，也就是 $O(k)$。对于哈希地址比较均匀的哈希函数来说，理论上讲，k = n // m，其中 n 为关键字的个数，m 为哈希表的表长

案例：现在要存入的关键字集合 keys = [88, 60, 65, 69, 90, 39, 07, 06, 14, 44, 52, 70, 21, 45, 19, 32]。再假定哈希函数为 Hash(key) = key % 13，哈希表的表长 m = 13，哈希地址范围为 [0, m - 1]。将这些关键字使用链地址法处理冲突，并按顺序加入哈希表中（图示为插入链表表尾位置），最终得到的哈希表如下图所示：

相对于开放地址法，采用链地址法处理冲突要多占用一些存储空间（主要是链节点占用空间）。但它可以减少在进行插入和查找具有相同哈希地址的关键字的操作过程中的平均查找长度。这是因为在链地址法中，待比较的关键字都是具有相同哈希地址的元素，而在开放地址法中，待比较的关键字不仅包含具有相同哈希地址的元素，而且还包含哈希地址不相同的元素

3.4、开散列下冲突严重时(导致链表过长)的优化

3.4.1、整个哈希表进行扩容

假设以前%7（数组长度为7），现在就扩容为原数组的一倍，现在%14（数组长度变为14），就可以大大降低冲突的概率，减少链表长度

3.4.2、单个链表转为哈希表或者变为搜索树

单个链表长度过长，查询效率就会变为链表的遍历 O(N)，就针对这单个链表进行转换处理：可以把单个链表转为哈希表或者变为搜索树（JDK8 的 HashMap 就采用此方案，当某个链表的长度 >8 且整个哈希表元素个数 >64，把此链表转为红黑树

4、负载因子

散列表的载荷因子定义为: a = 填入表中的元素个数 / 散列表的长度

• 负载因子越大，发生哈希冲突的概率越大，数组长度就会偏小，但节省空间
• 负载因子越小，发生哈希冲突的概率越小，数组长度就会偏大，但浪费空间

负载因子和冲突率是相互影响的，因此可以设定一个的负载因子阈值，负载因子超过阈值，就增加哈希桶，降低冲突率

由图中可以看到，负载因子的值增大，冲突率也随着增大，我们不能直接控制冲突率，可以通过影响负载因子来降低冲率，而控制负载因子，负载因子是哈希表的元素数量除哈希桶数量，我们认为哈希表要传入的数量是未知的，也可以看作无穷的，所以，通过不能降低减少哈希表元素的数量来降低负载因子的值，但我们可以通过增加哈希桶的值来降低负载因子的值，进而降低冲突率【HashMap 的哈希表长度为16，当元素个数超过 12 就会发生扩容】

【参考资料】
算法数据结构基础——哈希表（Hash Table）
数据结构之—哈希表