2024 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛完整分析文章
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D 题 反潜航空深弹命中概率问题
目录
在现代海战中，潜艇作为一种隐蔽性强的作战平台，对水面舰艇构成了巨大 的威胁。因此，提高反潜作战的深弹命中概率成为亟待解决的问题。本研究针对 反潜作战中的深弹投掷策略进行了数学建模，旨在通过优化投弹方案，最大化深 弹命中潜艇的概率。针对问题 1 ，我们假设潜艇的深度位置无误差，仅在水平位 置存在误差，采用概率密度函数和蒙特卡洛模拟的方法，分析了投弹最大命中概 率与投弹落点坐标及引爆深度之间的关系；针对问题 2 ，我们考虑潜艇在水平和 深度方向上的位置误差，使用三维概率模型结合数值积分方法，计算并优化了投 弹的最佳引爆深度；针对问题 3 ，为了提高整体命中概率，我们设计了多枚深弹 的投掷方案，使用组合概率和蒙特卡洛模拟方法，优化了投弹阵列布局和投弹间 隔。
对于问题 1 ，我们首先建立了单枚深弹的二维投掷模型，通过正态分布函数 描述潜艇水平位置的不确定性，利用几何分析方法推导出命中概率的表达式，并 结合蒙特卡洛模拟优化投弹落点和平面坐标，最终确定了最优引爆深度和投弹方 案。结果表明，在给定参数下，该方案显著提升了单枚深弹的命中概率。
对于问题 2 ，我们构建了包含水平和深度误差的三维概率模型，考虑潜艇在 三个方向上的位置不确定性，使用截尾正态分布来描述潜艇的深度误差。通过概 率密度函数积分计算，结合数值优化算法确定最佳引爆深度d ，使得深弹在不确 定性条件下的命中概率最大化。模型求解结果显示，最优引爆深度显著提高了深 弹的单次命中概率。
针对问题 3 ，我们设计了多枚深弹的投掷方案，建立了基于多重误差和投弹 阵列的多枚深弹概率模型。通过蒙特卡洛模拟计算各深弹单独命中的概率，并使 用组合概率理论计算至少一枚深弹命中潜艇的整体概率。采用模拟退火算法优化 阵列布局和投弹间隔，找到了使命中概率最大化的最佳投弹策略，结果表明，多 枚深弹的投掷方案大幅提升了整体作战效能。
在模型构建和求解过程中，我们对不同条件下的投弹方案进行了进一步的优 化和拓展，建议未来可以在更多复杂的动态海洋环境下，通过引入目标运动特性 和环境变化因素，进一步完善模型的适用性和准确性。本文的研究为反潜作战中 的深弹投掷策略提供了科学依据和优化方案，为提高现代海战中的反潜效率提供 了有力支持。
关键词： 深弹投掷模型，蒙特卡洛模拟，组合概率，三维误差优化，反潜
作战。
1. 问题背景
随着海战环境的日益复杂和潜艇技术的不断进步，潜艇已成为现代海战中的重要威胁之一。 其隐蔽性和灵活性使得探测和打击变得极具挑战性，特别是在其位置不确定的情况下，对其 进行有效打击尤为困难。为此，各国海军在反潜作战中广泛使用航空平台（如反潜飞机）来 投掷深弹，以期提升打击成功率。然而，由于潜艇位置的定位误差和深弹本身的命中概率较 低，如何通过合理的投弹方案最大化命中潜艇的概率成为反潜作战中的关键问题。因此，本 研究基于数学建模，针对单枚和多枚深弹的投掷场景，优化投弹策略，以提高对潜艇的打击 效率。
2. 需要解决的问题
问题一：
对于单枚深弹的投掷情况，假设潜艇的深度位置无误差，只有水平位置（X, Y 方向）存在误 差，且服从正态分布。我们需要建立一个数学模型来分析投弹的最大命中概率与投弹落点平 面坐标及引爆深度之间的关系，确定一个最佳的投弹方案，即最优的投弹落点和引爆深度， 以最大化单枚深弹的命中概率，并给出相应的最大命中概率表达式。
问题二：
在考虑单枚深弹的投掷时，我们进一步引入潜艇中心位置在所有三个方向上的定位误差，其 中深度误差服从截尾正态分布。目标是建立一个新的数学模型，计算深弹的命中概率，并通 过优化引爆深度来最大化命中概率。我们需要确定最佳的定深引信引爆深度，使得深弹在不 确定性条件下的命中概率最高。
问题三：
由于单枚深弹的命中概率较低，为了提升打击效果，通常需要投掷多枚深弹。假设一架反潜 飞机可以携带 9 枚深弹，且所有深弹的定深引信引爆深度相同，投弹落点呈阵列形状。我们 需要设计一个最佳的投弹方案，包括选择最优的引爆深度和确定投弹落点之间的间隔，以使 至少一枚深弹命中潜艇的概率最大化。通过对多枚深弹的投掷位置和间隔进行优化，提升整 体打击效能。
问题 1 分析：
在问题 1 中，我们面对的是单枚深弹的投放策略优化问题。假设潜艇的中心位置在深度方向 没有误差，但其在水平位置上存在不确定性，误差服从正态分布。我们的任务是建立一个以 水平位置误差为核心的数学模型，分析投弹最大命中概率与投弹落点坐标及引爆深度之间的 关系。具体而言，需要推导出命中概率的数学表达式，并通过遍历投弹坐标和引爆深度，找 到命中概率最大的投弹方案。为了解决这个问题，我们将运用概率理论、几何分析方法以及 数值优化技术，结合给定的参数条件，得出单枚深弹的最佳投弹方案。
问题 2 分析：
问题 2 进一步增加了模型的复杂性，考虑到潜艇在所有三个方向（水平和深度）上的定位误 差。除了水平位置存在的正态分布误差外，潜艇的深度定位也存在误差，且该误差服从截尾 正态分布。我们的目标是构建一个更复杂的三维概率模型，整合所有方向的误差因素，计算 深弹的命中概率表达式。随后，通过优化引爆深度，最大化命中概率。在此过程中，将利用 概率密度函数的积分计算与数值模拟方法，并结合数值优化算法，以找出最优的定深引信引 爆深度。
问题 3 分析：
在问题 3 中，由于单枚深弹的命中概率较低，为提高作战效果，需要考虑多枚深弹的投放方 案。一架反潜飞机可携带 9 枚航空深弹，这些深弹的定深引信引爆深度相同，投弹落点在平 面上呈阵列形状。为此，我们需要设计一个最佳投弹方案，包括选择一个最优的引爆深度和 设定投弹落点之间的平面间隔，以最大化至少一枚深弹命中潜艇的概率。通过建立多枚深弹 的综合概率模型，利用组合概率理论和蒙特卡洛模拟方法计算命中概率，并采用数值优化算 法寻找最优投弹方案，使整体命中概率最大化
