494. 目标和

题目：

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

• 例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+2-1" 。

返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

示例 2：

输入：nums = [1], target = 1
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 20
• 0 <= nums[i] <= 1000
• 0 <= sum(nums[i]) <= 1000
• -1000 <= target <= 1000

思路：

这个问题可以转换为一个子集和问题，并通过动态规划来解决。我们需要将数组划分为两个子集，使得一个子集的和为 P，另一个子集的和为 N。问题的目标是找到这样的 P 和 N，使得 P−N=target。

1. 转换问题：

   给定的数组总和为 sum，则有： P + N = sum 和： P - N = target

   通过这两个公式，我们可以推导出： 2P = target + sum P = (target + sum) / 2

   因此，问题就变成了在数组中找到一个子集，使其和为 P。

2. 检查可行性：

   为了使得 P 是一个有效的子集和，必须满足以下条件：

   • target + sum 必须是偶数。
   • P 必须是非负整数（即 P >= 0）。

   如果不满足这些条件，则返回 0。

3. 定义状态：

   我们定义 dp[j] 表示从数组中选择一些元素，其和恰好为 j 的不同组合数。

4. 状态转移：

   遍历数组 nums，对于每个元素 num，我们更新 dp 数组，从后往前遍历： dp[j] = dp[j] + dp[j - num] 这里，dp[j] 的更新是因为我们可以选择 num 来构造和为 j 的组合，或者不选择它。

5. 初始化：

   初始时，dp[0] = 1，表示和为 0 的组合数为 1（即不选择任何元素）。

6. 返回值：

   最终，我们返回 dp[P]，它代表了构造出和为 P 的不同组合数。

上代码：

class Solution {
public:
    int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {
        int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
        if ((target + sum) % 2 != 0 || sum < abs(target)) {
            return 0;
        }
        int P = (target + sum) / 2;
        vector<int> dp(P + 1, 0);
        dp[0] = 1;

        for (int num : nums) {
            for (int j = P; j >= num; --j) {
                dp[j] += dp[j - num];
            }
        }

        return dp[P];
    }
};

输入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
输出：4
解释：最多有 5 个 0 和 3 个 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他满足题意但较小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不满足题意，因为它含 4 个 1 ，大于 n 的值 3 。

输入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
输出：2
解释：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
        
        for (const string& str : strs) {
            int zeros = count(str.begin(), str.end(), '0');
            int ones = str.size() - zeros;
            
            for (int i = m; i >= zeros; --i) {
                for (int j = n; j >= ones; --j) {
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeros][j - ones] + 1);
                }
            }
        }
        
        return dp[m][n];
    }
};