数据结构（13）——平衡二叉树（红黑树）

欢迎来到博主的专栏——数据结构
博主ID：代码小号

文章目录

- 红黑树
- - 红黑树节点之间的关系
  - 红黑树的插入
  - - uncle节点为红色
    - uncle节点是黑色或者没有uncle节点

红黑树

平衡二叉树最出名的除了AVL树之外就是红黑树（RBTree），所谓红黑树，即拥有以下特性的平衡二叉树

（1）每个节点要么是红色，要么是黑色
（2）根节点必须是黑色
（3）红色节点的子节点必须是黑色
（4）每条路径上的黑色节点个数相同。

红黑树中所谓的路径，并非是从根节点到叶节点经过的所有节点，而是从根节点到NULL节点之间的路径。

以下图为例，该红黑树具有的路径有：
在这里插入图片描述

ok，从上图我们也可以看出，红黑树节点至少有5个对象，分别是指向左右子树的指针，指向父节点的指针，值，以及颜色。那么红黑树节点的定义应该如下：

enum colour
{
	RED,BLACK
};
template<class key,class value>
struct RBtreeNode
{
	pair<key, value> _kv;//值
	RBtreeNode<key, value>* _right;//右子树
	RBtreeNode<key, value>* _left;//左子树
	RBtreeNode<key, value>* _parent;//父节点
	colour _col;//颜色
};

为什么说红黑树也是平衡二叉树？它又是如何做到平衡的呢？

假设一颗红黑树路径的黑色节点为4个，那么可能最短路径为：
在这里插入图片描述
最长路径为：

由此可得，在一颗路径黑色节点个数为N的红黑树中。最短路径*2>=最长路径。假设在最短路径上进行插入，时间复杂度为O（logN），在最短路径上进行插入的时间复杂度为O（log2N），那么也就说明红黑树即使是在最差的情况下，也能保持插入和查找的对数级的时间复杂度，效率还是很不错的。

由于红黑树的插入与删除与搜索二叉树逻辑相同，只是多了调整平衡二叉树的操作，因此博主不多赘述插入，删除的相关操作，重点讲解如何调整红黑树。

平衡二叉树的旋转操作，博主已在AVL树文章中讲解，甚至用的是与AVL树一样的旋转代码，因此也不多赘述。

红黑树节点之间的关系

假设在红黑树的某部分子树的形状如下：
在这里插入图片描述
假如当前节点cur为红，那么parent只能是黑，grandfather和uncle的颜色不确定。

如果parent为红，那么grandfather只能是黑色，记住这个结论，很重要。

假如grandfather是黑色，parent和uncle是红色，将grandfather转换成红色，parent和uncle都变成黑色，该路径下的黑色节点的个数不变。
在这里插入图片描述
这里说明了一个性质，那就是红黑树之间的节点的颜色其实是可以按照一定规律改变的。

红黑树的插入

uncle节点为红色

这里不讨论如何插入，只讲解如何保持红黑树的规则。

首要要考虑一个问题，新插入的节点是红色好还是黑色好？结论是插入的节点是红色比较好，因为我们可以假设插入节点为红色。那么会遇到两种情况
（1）插入在黑色节点之后，符合红黑树的特性
（2）插入在红色节点之后，不符合红黑树不允许红色节点连续的特性

如果插入节点为黑色，那么插入的路径的黑色节点一定会比其他路径多（因为红黑树要求每个路径的黑色节点相同，插入黑色节点会打破这个平衡）。两害相较取其轻，所以插入的节点视为红色，如果不符合特性再进行修改。

RBtreeNode(const pair<key,value>& kv)
	:_kv(kv)
	,_right(nullptr)
	,_left(nullptr)
	,_parent(nullptr)
	,_col(RED)
{}

当我们插入红色节点时，可能会出现以下情况。
（1）插入在黑色节点之后：
红色节点插入在黑色节点之后是符合红黑树规则的，而且每个路径的黑色节点也没有改变，因此种情况是合法的，不用处理
（2）插入在红色节点之后
红黑树的特性是没有连续的红色节点，因此出现这种情况就需要对红黑树进行处理了。

假设插入的节点为cur，其父节点parent是红色节点，那么parent的父节点一定是黑色的，因为红色的节点不能相连，那么我们姑且将其称为祖父(grandfather)节点吧。

在这里插入图片描述

grandfather的右子树存不存在未知，我们先假设祖父节点存在右子树，那么祖父节点一定会只存在一个红色节点。称该节点为叔叔(uncle)节点。为什么叔叔节点一定会是红色呢？因为parent是红色的是确定的条件，因为如果parent是黑色的节点，插入这个红色的cur节点不会构成非法操作，也就不需要处理了，因此引发处理红黑树的条件一定是插入节点的父节点一定是红色的。

那么在这种情况下，uncle节点一定会是红色的，因为如果uncle节点是黑色的，那么祖父节点的左右子树的路径上的黑色节点数量就不一致了。这显然违反了红黑树的规定。
在这里插入图片描述
那么祖父的右边一定只有一个节点呢？因为uncle是红色的，那么uncle的子节点一定是黑色的，那么还是遇到了那个问题，祖父节点的左右子树的路径上黑色节点个数不相同，违反了红黑树的规则。因此如果cur插入在红色节点之后，且祖父节点存在右树时，有且只有这么一种请况：
在这里插入图片描述
那么该怎么处理呢？首先这个情况非法的原因就是parent和cur是连续的红色节点，那么将其改变成黑白相间即可。但无论是parent或者cur变成黑色节点，都会破坏红黑树在路径上的黑色个数。那么我们就不能单独修改某个节点，而是要一起改。其实方法在上面博主已经给出了，博主这里直接截图吧。

在这里插入图片描述
我们让parent和uncle改成黑色，grandfather变成红色，就能解决问题。

代码如下：

我们先写出检查红黑树的代码：

void keep_balance(Node* parent,Node* cur)
{
	while (parent != nullptr && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (grandfather->_left == parent)//父节点在左
		{
		}
		else//父节点在右
		{
		}
	}
	_root->_col = BLACK;
}

现在grandfather的节点变成红色节点了。那么grandfather的父节点是可能出现红色节点，或者黑色节点的，如果grandfather的父节点是黑色节点，那就说明不需要调整了，已经符合了红黑树的操作。如果grandfather的父节点也是红色节点，那么由于出现了红色节点，那么我们需要对grandfather和grandfather的父节点进行调整。
在这里插入图片描述

以此类推，直到根节点。如果根节点变红，由于红黑树规定根节点不能是红色，因此需要将根节点变黑。
在这里插入图片描述
将根节点变黑相当于给红黑树的所有路径都加了一个黑节点，因此将根节点变黑这个操作在任何情况下都是合法的。所以我们可以直接在程序的最后让根节点变成黑色。

if (grandfather->_left == parent)//uncle节点在grandfather的左子节点
{
	Node* uncle = grandfather->_right;
	if(uncle!=nullptr&&uncle->_col==RED)
	{
		parent->_col = BLACK;
		uncle->_col = BLACK;
		grandfather->_col = RED;
		cur = grandfather;
		parent = cur->_parent;
	}
}

uncle节点是黑色或者没有uncle节点

前面提到的条件是uncle节点是红色的情况，但是uncle节点可能会出现没有或者是黑色这两种情况。

当我们插入cur节点时，如果和parent同样都是红色，就要进行调整，此时uncle节点一定是没有，或者是红色的，不可能存在uncle节点是黑色的情况。
在这里插入图片描述
这是因为，如果uncle节点是黑色，就不符合每个路径的黑色节点个数相同的特性。

因此只能是uncle节点不存在。如果出现这种情况，我们就要使用旋转的方式将子树进行旋转了。因为很明显子树已经不平衡了，左子树有两个节点，而右子树没有节点，因此需要旋转。旋转也分为左单旋，右单旋，右左单旋和左右单旋，这方面的操作与AVL树的旋转无异，因此博主不再赘述。
在这里插入图片描述

如果是在向上更新节点的时候，就会遇到uncle是黑色的情况。比如：

此时的cur节点是由于红黑树向上更新节点颜色时变成红色的，此时也需要旋转。
在这里插入图片描述

整体的平衡代码如下：

void keep_balance(Node* parent,Node* cur)
{
	while (parent != nullptr && parent->_col == RED)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;
		if (grandfather->_left == parent)//父节点在左
		{
			Node* uncle = grandfather->_right;
			if(uncle!=nullptr&&uncle->_col==RED)
			{
				parent->_col = BLACK;
				uncle->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;
				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else 
			{
				if (parent->_left == cur)
				{
					rotateR(grandfather);//右单旋
					parent->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				else
				{
					rotateLR(grandfather);
					cur->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;
				}
				break;
			}
		}
		else//父节点在右
		{
			Node* uncle = grandfather->_left;
			if (uncle != nullptr && uncle->_col == RED)
			{
				uncle->_col = BLACK;
				parent->_col = BLACK;
				grandfather->_col = RED;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else
			{
				if (parent->_right == cur)
				{
					rotateL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					parent->_col = BLACK;
				}
				else if (parent->_left == cur)
				{
					rotateRL(grandfather);
					grandfather->_col = RED;
					cur->_col = BLACK;
				}
				break;
			}
		}
	}
	_root->_col = BLACK;
}