指数分布是连续概率分布的一种，常用于描述等待时间、寿命等随机变量的分布。
1. 标准形式的指数分布
标准形式的指数分布的概率密度函数（PDF）为：
f ( x ; λ ) = { λ e − λ x if x ≥ 0 0 if x < 0 f(x; \lambda) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases} f(x;λ)={λe−λx0if x≥0if x<0
其中， λ > 0 \lambda > 0 λ>0 是速率参数（rate parameter），表示单位时间内发生某事件的平均次数。
- 累积分布函数（CDF）：
F ( x ; λ ) = { 1 − e − λ x if x ≥ 0 0 if x < 0 F(x; \lambda) = \begin{cases} 1 - e^{-\lambda x} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases} F(x;λ)={1−e−λx0if x≥0if x<0
- 期望（均值）： 1 λ \frac{1}{\lambda} λ1
- 方差： 1 λ 2 \frac{1}{\lambda^2} λ21
2. 通过尺度参数变换的指数分布
为了和正态分布PDF等其他指数家族函数作类比分析，也会使用尺度参数（scale parameter） θ \theta θ 来代替率参数 λ \lambda λ。此时，概率密度函数变为：
f ( x ; θ ) = { 1 θ e − x θ if x ≥ 0 0 if x < 0 f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{x}{\theta}} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases} f(x;θ)={θ1e−θx0if x≥0if x<0
其中， θ > 0 \theta > 0 θ>0 是尺度参数，表示平均等待时间或平均寿命等。
-
注意：这里的 θ \theta θ 和 λ \lambda λ 是倒数关系，即 θ = 1 λ \theta = \frac{1}{\lambda} θ=λ1。
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累积分布函数（CDF）：
F ( x ; θ ) = { 1 − e − x θ if x ≥ 0 0 if x < 0 F(x; \theta) = \begin{cases} 1 - e^{-\frac{x}{\theta}} & \text{if } x \geq 0 \\ 0 & \text{if } x < 0 \end{cases} F(x;θ)={1−e−θx0if x≥0if x<0
- 期望（均值）： θ \theta θ
- 方差： θ 2 \theta^2 θ2
在这种表示下，
θ
\theta
θ是分布的均值，它的极大似然估计是样本均值。
λ
\lambda
λ 越小，也就是
θ
\theta
θ越大越拖尾。
MATLAB中，expfit和mle函数计算参数的极大似然估计。
很神奇，很多分布的PDF都是指数函数。例如常见的高斯函数，也就是正态分布的概率密度函数也是指数家族函数：
f ( x ∣ μ , σ 2 ) = 1 2 π σ 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} f(x∣μ,σ2)=2πσ21e−2σ2(x−μ)2
方差 σ 2 \sigma^2 σ2 越小，曲线越陡峭，表示数据越集中；方差越大，曲线越平坦，表示数据越分散。
