在尝试找到一个固体的体积时，我们面对的问题与寻找面积时相同。我们对体积的概念有直观的理解，但我们必须通过使用微积分来精确定义体积。

我们从一种简单类型的固体——称为柱体（或更准确地说，直柱体）——开始。如图1(a)所示，柱体由一个称为底面的平面区域 $B_1$ 和一个平行平面中的全等区域 $B_2$ 所界定。柱体由所有垂直于底面并将 $B_1$ 与 $B_2$ 连接的线段上的点组成。如果底面的面积为 $A$ 且柱体的高度（即从 $B_1$ 到 $B_2$ 的距离）为 $h$，那么柱体的体积 $V$ 定义为

$$V=Ah$$

特别地，如果底面是半径为 $r$ 的圆，那么该柱体是一个圆柱体，其体积为 $V=\pi r^{2}h$（见图1(b)）。如果底面是一个长为 $l$ 且宽为 $w$ 的矩形，那么该柱体是一个矩形盒（也称为矩形平行六面体），其体积为 $V=lwh$（见图1(c)）。

对于不是柱体的固体 $S$，我们首先将 $S$ “切割”成若干部分，并将每一部分近似为一个柱体。通过将这些柱体的体积相加，我们估算出 $S$ 的体积。通过一种极限过程，当部分的数量变得足够大时，我们可以得到 $S$ 的精确体积。

我们从用一个平面与 $S$ 相交开始，得到一个称为 $S$ 的截面的平面区域。设 $A(x)$ 为 $S$ 在与 $x$ 轴垂直并通过点 $x$ 的平面 $P_x$ 中的截面积，其中 $a\le x\le b$（见图2）。可以想象用刀沿着 $x$ 处切开 $S$，并计算这一切片的面积。截面积 $A(x)$ 会随着 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 的变化而变化。

我们通过使用平面 $P_{x_1},P_{x_2},\dots$ 将 $S$ 切成 $n$ 个宽度相等的“薄片” $\Delta x$（可以想象成切面包）。如果我们在区间 $[x_{i-1},x_i]$ 中选择采样点 $x_i^{\ast }$，那么我们可以用一个底面积为 $A(x_i^{\ast })$ 且“高度”为 $\Delta x$ 的柱体来近似第 $i$ 个薄片 $S_i$（即 $S$ 在平面 $P_{x_{i-1}}$ 和 $P_{x_i}$ 之间的部分）。(见图3)

这个柱体的体积是 $A(x_i^{\ast })\Delta x$，因此，第 $i$ 个薄片 $S_i$ 的体积近似为

$$V(S_i)\approx A(x_i^{\ast })\Delta x$$

将这些薄片的体积相加，我们可以得到总体积的近似值（即我们直观理解的体积）：

$$V\approx \sum _{i=1}^{n}A(x_i^{\ast })\Delta x$$

这种近似随着 $n\to \infty$ 而变得越来越精确。（可以想象这些切片变得越来越薄。）因此，我们将体积定义为当 $n\to \infty$ 时这些和的极限。但我们认识到，这个黎曼和的极限是一个定积分，因此我们得到了如下定义。

体积的定义 设 $S$ 是位于 $x=a$ 和 $x=b$ 之间的固体。如果 $S$ 在平面 $P_x$ 上的截面积 $A(x)$ 是通过 $x$ 并垂直于 $x$ 轴得到的，其中 $A$ 是一个连续函数，那么 $S$ 的体积 $V$ 为
$$V=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}A(x_i^{\ast })\Delta x={\int }_a^{b}A(x)dx$$

当我们使用体积公式 $V={\int }_a^{b}A(x)dx$ 时，重要的是要记住 $A(x)$ 是通过 $x$ 垂直于 $x$ 轴切割得到的截面面积。

注意，对于一个柱体，截面积是恒定的：$A(x)=A$ 对所有的 $x$ 都成立。因此，我们的体积定义给出 $V={\int }_a^{b}Adx=A(b-a)$；这与公式 $V=Ah$ 一致。

例1 证明半径为 $r$ 的球的体积为 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。

解
如果我们将球放置在其中心位于原点的位置，那么平面 $P_x$ 将球截成一个圆，其半径（根据勾股定理）为 $y=\sqrt{r^2-x^2}$（见图4）。因此截面积为

$$A(x)=\pi y^2=\pi (r^2-x^2)$$

使用体积的定义，其中 $a=-r$ 且 $b=r$，我们有

$$V={\int }_{-r}^{r}A(x)dx={\int }_{-r}^r\pi (r^2-x^2)dx$$

由于被积函数是偶函数，因此

$$V=2\pi {\int }_0^r(r^2-x^2)dx$$

接着进行积分

$$V=2\pi {\left[r^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^r=2\pi \left(r^3-\frac{r^3}{3}\right)=\frac{4}{3}\pi r^3$$

因此，球的体积为 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$。

图5展示了当固体是半径为 $r=1$ 的球时，体积的定义。根据例子1的结果，我们知道球的体积为 $\frac{4}{3}\pi$，约为4.18879。这里的薄片是圆柱体或圆盘，图5的三部分展示了黎曼和的几何解释

$$\sum _{i=1}^{n}A({\bar{x}}_i)\Delta x=\sum _{i=1}^n\pi (1^2-{\bar{x}}_i^2)\Delta x$$

当 $n=5$、$10$ 和 $20$ 时，如果我们选择样本点 $x_i^{\ast }$ 为中点 ${\bar{x}}_i$。注意，随着近似圆柱的数量增加，相应的黎曼和越来越接近真实体积。

例2 求由曲线 $y=\sqrt{x}$ 下方区域从 $0$ 到 $1$ 围绕 $x$ 轴旋转得到的立体体积。通过绘制一个典型的近似圆柱体来说明体积的定义。

解
该区域如图6(a)所示。如果我们围绕x轴旋转，得到如图6(b)所示的立体。当我们通过点 $x$ 切开时，得到一个半径为 $\sqrt{x}$ 的圆盘。这个横截面的面积为：

$$A(x)=\pi (\sqrt{x}{)}^2=\pi x$$
近似圆柱体（一个厚度为 $\Delta x$ 的圆盘）的体积为：
$$A(x)\Delta x=\pi x\Delta x$$

该立体位于 $x=0$ 和 $x=1$ 之间，因此其体积为：
$$V={\int }_0^{1}A(x)dx={\int }_0^1\pi xdx=\pi {\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}$$

例3 求由曲线 $y=x^3$、 $y=8$ 和 $x=0$ 围成的区域绕 $y$ 轴旋转得到的立体的体积。

解
该区域如图7(a)所示，旋转得到的立体如图7(b)所示。因为该区域绕 $y$ 轴旋转，故可以沿与 $y$ 轴垂直的方向切割（得到圆形横截面），因此可以关于 $y$ 积分。如果我们在高度 $y$ 处切割，得到一个半径为 $x$ 的圆盘，其中 $x=\sqrt[3]{y}$。因此通过 $y$ 的横截面积为：

$$A(y)=\pi x^2=\pi (\sqrt[3]{y}{)}^2=\pi y^{2/3}$$
图7(b)所示的近似圆柱体的体积为：
$$A(y)\Delta y=\pi y^{2/3}\Delta y$$

由于该立体位于 $y=0$ 和 $y=8$ 之间，因此其体积为：
$$V={\int }_0^{8}A(y)dy={\int }_0^8\pi y^{2/3}dy=\pi {\left[\frac{3}{5}{y}^{5/3}\right]}_0^8=\frac{96\pi }{5}$$

例4 由曲线 $y=x$ 和 $y=x^2$ 围成的区域 $\mathcal{R}$ 围绕 $x$ 轴旋转。求所得到的立体体积。

解
曲线 $y=x$ 和 $y=x^2$ 在点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$ 相交。它们之间的区域、旋转体和垂直于 $x$ 轴的截面如图8所示。平面 $P_x$ 中的截面形状是一个环（或圆环），其内半径为 $x^2$，外半径为 $x$，因此我们通过从外圆的面积中减去内圆的面积来找到横截面积：

$$A(x)=\pi x^2-\pi (x^2{)}^2=\pi (x^2-x^4)$$
因此我们有：
$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{1}A(x)dx={\int }_0^1\pi (x^2-x^4)dx\\ & =\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}\right]}_0^1=\frac{2\pi }{15}\end{array}$$

例5 求将例4中的区域绕直线 $y=2$ 旋转得到的立体的体积。

解
该立体及其横截面如图9所示。横截面仍然是一个圆环，但这次内半径为 $2-x$，外半径为 $2-x^2$。

横截面积为：
$$A(x)=\pi (2-x^2{)}^2-\pi (2-x{)}^2$$
因此，立体 $S$ 的体积为：
$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{1}A(x)dx\\ & =\pi {\int }_0^1[(2-x^2{)}^2-(2-x{)}^2]dx\\ & =\pi {\int }_0^1(x^4-5x^2+4x)dx\\ & =\pi {\left[\frac{x^5}{5}-5\frac{x^3}{3}+4\frac{x^2}{2}\right]}_0^1=\frac{8\pi }{15}\end{array}$$

固体1到5的例子统称为旋转体，因为它们是通过绕某条直线旋转区域而获得的。通常，我们通过以下基本定义公式来计算旋转体的体积：

$$V={\int }_a^{b}A(x)dx\text{或}V={\int }_c^{d}A(y)dy$$

其中，$A(x)$ 或 $A(y)$ 是横截面积，计算方法如下：

• 如果横截面是一个圆盘（如例子1-3），我们找到圆盘的半径（以 $x$ 或 $y$ 表示），并使用公式

$$A=\pi (\text{半径}{)}^2$$

• 如果横截面是一个垫圈（如例子4和5），我们根据图示（如图8、9和10）找到内半径 $r_{\text{in}}$ 和外半径 $r_{\text{out}}$，并通过从外圆盘的面积中减去内圆盘的面积来计算垫圈的面积：

$$A=\pi (\text{外半径}{)}^2-\pi (\text{内半径}{)}^2$$

图10展示了这一过程的进一步说明。

例6 找到通过绕 $x=-1$ 线旋转例4中的区域所获得的固体的体积。

解
图11展示了一个水平横截面。它是一个垫圈，内半径为 $1+y$，外半径为 $1+\sqrt{y}$，因此横截面积为：

$$\begin{array}{rl}A(y)& =\pi (\text{外半径}{)}^2-\pi (\text{内半径}{)}^2\\ & =\pi (1+\sqrt{y}{)}^2-\pi (1+y{)}^2\end{array}$$

体积为：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{1}A(y)dy=\pi {\int }_0^1\left[(1+\sqrt{y}{)}^2-(1+y{)}^2\right]dy\\ & =\pi {\int }_0^1\left(2y^{1/2}-y-y^2\right)dy=\pi {\left[\frac{4y^{3/2}}{3}-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}\end{array}$$

图11给出了上述计算的示意图。

例7 图12展示了一个以半径为1的圆形底面为基础的固体。与底面垂直的平行横截面为等边三角形。求该固体的体积。

解
我们以圆为 $x^2+y^2=1$。该固体的底面及从原点到 $x$ 处的典型横截面如图13所示。

由于点 $B$ 位于圆上，我们有 $y=\sqrt{1-x^2}$，因此三角形 $ABC$ 的底边长度为

$$|AB|=2y=2\sqrt{1-x^2}$$

由于该三角形为等边三角形，我们从图13(c)中可以看出其高为

$$\sqrt{3}y=\sqrt{3}\sqrt{1-x^2}$$

因此横截面积为

$$A(x)=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{1-x^2}\times \sqrt{3}\sqrt{1-x^2}=\sqrt{3}(1-x^2)$$

该固体的体积为

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-1}^{1}A(x)dx={\int }_{-1}^1\sqrt{3}(1-x^2)dx\\ & =2{\int }_0^1\sqrt{3}(1-x^2)dx=2\sqrt{3}{\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^1=\frac{4\sqrt{3}}{3}\end{array}$$

例8 求一个底面为边长为 $L$ 的正方形，高为 $h$ 的金字塔的体积。

解
我们将原点 $O$ 放置在金字塔的顶点，x轴沿其中央轴线延伸，如图14所示。通过任意点 $P$，它穿过 $x$ 处并垂直于 $x$ 轴与金字塔相交，形成边长为 $s$ 的正方形横截面。我们可以通过图15中的相似三角形表达 $s$ 与 $x$ 的关系：

$$\frac{x}{h}=\frac{s/2}{L/2}=\frac{s}{L}$$

因此 $s=Lx/h$。[另一种方法是观察到直线 $OP$ 的斜率为 $L/(2h)$，因此其方程为 $y=Lx/(2h)$]。因此横截面积为

$$A(x)=s^2=\frac{L^2}{h^2}{x}^2$$

体积为

$$V={\int }_0^{h}A(x)dx={\int }_0^h\frac{L^2}{h^2}{x}^{2}dx=\frac{L^2}{h^2}{\int }_0^h{x}^{2}dx=\frac{L^2}{h^2}{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^h=\frac{L^{2}h}{3}$$

注意 我们在例8中并不需要将金字塔的顶点放在原点。我们这样做只是为了使方程简单化。如果我们将底面的中心放置在原点，并将顶点放在y轴的正方向，如图16所示，你可以验证得到的积分是

$$V={\int }_0^h\frac{L^2}{h^2}(h-y{)}^{2}dy=\frac{L^{2}h}{3}$$

例9 一个楔形体从半径为4的圆柱体中由两个平面切割而成。一个平面垂直于圆柱体的轴线。另一个平面沿圆柱体直径的30°角与第一个平面相交。求楔形体的体积。

解
如果我们将 $x$ 轴放置在平面相交的直径上，那么该固体的底面是一个方程为 $y=\sqrt{16-x^2}$ 的半圆，其中 $-4\le x\le 4$。如图17所示，垂直于 $x$ 轴且距离原点 $x$ 处的横截面是一个三角形 $ABC$，其中 $|BC|=y\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{16-x^2}}{\sqrt{3}}$。因此横截面积为

$$A(x)=\frac{1}{2}\times \sqrt{16-x^2}\times \frac{1}{\sqrt{3}}\times \sqrt{16-x^2}=\frac{16-x^2}{2\sqrt{3}}$$

体积为

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_{-4}^{4}A(x)dx=\frac{1}{\sqrt{3}}{\int }_{-4}^4\frac{16-x^2}{2}dx\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}{\left[16x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-4}^4\\ & =\frac{128}{3\sqrt{3}}\end{array}$$