1. 中心极限定理

1.1 概念

是统计学中的一个核心概念：当样本量足够大时，无论总体分布形状如何，样本均值的分布都会趋近于正态分布

1.2 直观理解

假设我们有一组数据，从中不断地抽取样本并计算每个样本的平均值，这些均值会形成一个分布。无论原始数据是什么分布，当样本足够大时，这些平均值的分布会接近于“钟形”的正态分布。

1.3 重要性

中心极限定理为我们提供了使用正态分布进行统计推断的依据，即使原始数据不是正态分布。

2. 示例

2.1 数据集

我们仍旧使用这个数据集，数分基础（01）示例数据集Global_Superstore

使用其中的“销售额”列数据，随机抽取不同样本大小的子集，并计算这些样本的均值，观察样本均值的分布变化。

2.2 验证思路

为了达到我们的设想，以终为始

（1）获取一个样本均值

从原始数据中随机抽取若干个数据点（样本），这些数据点的平均值。例如，我们从销售额这一列中随机抽取10个数值（样本量=10），就能够集散一个样本均值。

（2）假设抽取1000次

假设样本量=10，我们重复（1）1000次，每次都会获得10个样本的一个均值，这1000次的均值（每次10个）会是不同的值，将这些值绘制直方图，显示分布情况。

（3）增大样本容量

观察随着样本数量增加，均值分布是否趋于正态分布。来验证“当样本足够大时，这些平均值的分布会接近于“钟形”的正态分布”。

2.3 实现

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 加载数据集
file_path = 'Global_Superstore2.xlsx'
excel_data = pd.ExcelFile(file_path)
sheet_names = excel_data.sheet_names
data = pd.read_excel(file_path, sheet_name='Sheet1')

# 从数据集中提取销售额数据
sales_data = data['Sales']

# 设置不同的样本量
sample_sizes = [10, 50, 100, 500]

# 设置中文字体为 SimHei（黑体），在绘图前设置字体
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 绘制均值的分布
plt.figure(figsize=(12, 8))

for i, size in enumerate(sample_sizes):
    # 生成样本均值的分布
    sample_means = [np.mean(np.random.choice(sales_data, size, replace=False)) for _ in range(1000)]
    plt.subplot(2, 2, i + 1)
    plt.hist(sample_means, bins=30, color='skyblue', alpha=0.7)
    plt.title(f'样本数量 = {size}')
    plt.xlabel('样本均值') 
    plt.ylabel('频率')    
    plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

这行代码的意思是：

sample_means = [np.mean(np.random.choice(sales_data, size, replace=False)) for _ in range(1000)]

从销售额数据sales_data中随机抽取指定数量（‘size’）的数据，计算均指，并重复这个过程1000次。每次计算得到的均值存储在sample_means列表中

plt.hist()

plt.hist(sample_means, bins=30, color='skyblue', alpha=0.7)

绘制直方图，‘sample_means’作为输入，表示将列表中的1000个数值进行统计绘图
bins=30，将1000个值分成30个区间（柱子），每个柱子的宽度代表均值的范围，高度代表这个范围内的均指出现的次数（频率），并设置柱子的颜色和透明度。

• 直方图的每个柱子（条形）代表一个样本均值区间的出现次数（频率）
• 柱子的高度越高，该样本均值范围内的次数越多
• 如果某个区间（例如，200-210）对应的柱子的高度为80，意味着在1000次抽样中，样本均值落在200-210之间的情况出现了80次

2.4 结果

当样本量较小时，左上角=10，样本均值的分布并不是正态分布，随着样本量增加到100，或者500，样本均值的分布逐渐趋向于“钟形”的正态分布

直观地验证了中心极限定理：无论总体分布是什么形状（偏态分布、均匀分布等），当样本量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。

也就意味着，即便我们面对的是非正态分布的原始数据，只要样本量大，样本均值就是正态分布的，就可以应用依赖正态分布的统计推断，z检验、t检验等。

2. 假设检验

利用数据集中的运输方式和销售额来看假设检验。我们在Ship Mode中可以看到有不同的运输方式，现在，我们验证两种运输方式：Same Day 和 Second Class 下的平均销售额是否存在显著差异。

2.1 总体思路

1. 设定原假设（H0）和备择假设（H1）
2. 选择合适的统计检验方法（如 t 检验）
3. 从样本数据中计算相应的统计量
4. 根据统计量和p值，判断是否拒绝原假设

2.2 比较两种运输方式的平均销售额

（1）提出假设

原假设（H0）： Same Day 运输方式和 Second Class 运输方式的平均销售额无显著差异
备择假设（H1）：Same Day 运输方式的平均销售额显著高于Second Class

（2）检验方法

使用独立样本T检验比较两组均指，两组数据相互独立，样本量较大。

T检验是一种统计检验方法，当样本量较小，或总体标准差未知时，用于检验样本均值与总体均值的差异，或比较两个样本均值。

使用条件：

• 样本量较小（ n < 30），且总体标准差未知
• 数据近似正态分布或样本来自正态分布
• 总体方差未知且需从样本数据中估计标准差

（3）计算检验统计量

提取 Same Day 和 Second Class 的销售额，并进行 t 检验

from scipy.stats import ttest_ind

# 提取不同运输方式的销售额数据
same_day_sales = data[data['Ship Mode'] == 'Same Day']['Sales']
second_class_sales = data[data['Ship Mode'] == 'Second Class']['Sales']

# 计算样本均值
mean_same_day = same_day_sales.mean()
mean_second_class = second_class_sales.mean()

# 执行独立样本t检验
t_stat, p_value = ttest_ind(same_day_sales, second_class_sales, equal_var=False)

# 打印结果
print(f"Same Day 平均销售额: {mean_same_day:.2f}")
print(f"Second Class 平均销售额: {mean_second_class:.2f}")
print(f"T统计量: {t_stat:.2f}")
print(f"p值: {p_value:.4f}")

运行结果为

Same Day 平均销售额: 247.02
Second Class 平均销售额: 248.88
T统计量: -0.18
p值: 0.8559

Scipy 科学计算库，ttest_ind函数，执行独立样本T检验，比较两组独立样本的均指是否存在显著差异，例如对比两组实验结果、两种方案的效果等。

常用于A/B测试、医学实验等，判断两组之间的均指差异是否是由随机误差引起，还是由于实际的显著差异引起。

ttest_ind主要参数：
ttest_ind(a, b, equal_var=True, nan_policy=‘propagate’, alternative=‘two-sided’)

a：第一组样本数据（数组或列表）
b：第二组样本数据（数组或列表）
equal_var：是否假设两组数据具有相等的方差
True（默认值）：假设两组方差相等
False：不假设方差相等

nan_policy：处理缺失值的策略。
‘propagate’（默认）：如果存在 NaN，则返回 NaN
‘omit’：忽略 NaN 值
‘raise’：遇到 NaN 值时报错

alternative：定义双尾或单尾检验类型
‘two-sided’（默认）：双尾检验
‘less’：单尾检验，测试是否 a 的均值小于 b
‘greater’：单尾检验，测试是否 a 的均值大于 b

t_stat：T 统计量，用于衡量样本均值的差异程度。T 值越大，均值差异越明显。
p_value：p 值，用于判断差异的显著性。通常，如果 p 值小于显著性水平（例如 0.05），我们认为差异显著，拒绝原假设
通过判断 T 统计量和 p 值，可以评估两组数据的差异性，并为后续行动提供数据支持

（4）结果解释

平均销售额，Same Day 方式的平均销售额约为 247.02 Second Class 运输方式的平均销售额约为 248.88

Same Day 平均销售额: 247.02
Second Class 平均销售额: 248.88
T统计量: -0.18
p值: 0.8559

t 统计量 -0.18 ，接近于0 ，均值差异不明显
p 值 0.8559 ，远大于 0.05 ，差异不显著，不能拒绝原假设 —— Same Day 运输方式和 Second Class 运输方式的平均销售额无显著差异

意味着，在决策时，如果销售额是主要考虑的问题，选择“Same Day”运输方式，并不会带来显著的销售提升，或许可以考虑成本、运输效率。

3. A/B测试

简要说下A/B测试，是一种对比测试，通过对比两种方案的效果来评估哪种更优。常用于网站设计、广告优化、产品定价等。

例如希望评估两种运输方式对销售额的影响，看看是否有显著差异。那么可以将上面的 Same Day 运输方式设为 A 组， Second Class 运输方式设为 B 组。

测试的目标为，Same Day 运输方式是否能带来更高的销售额。

在实际中，可以随机将用户分配到不同的实验组。然后收集两组的销售额数据。对比两组表现。使用统计检验判断差异是否显著。

在这个数据集示例中，我们已有两组数据【假设是上述方案设计下收集来的】，且已经进行了分析，且判断了差异并不显著。

也就是说，我们可以根据测试结果，优化商业方案，例如这里，帮助我们评估运输方式对销售额的影响。假如运输方式对销售额的影响有显著的差异，就可以选择销售额高的运输方式。这样通过小规模的实验，能够降低全局实施的风险。