评价决策类——层次分析法+数学建模+实战分析

一、前言

二、历年题型分析

2.1 常用算法归纳

2.1.1 优化类算法

2.1.2 预测类算法

2.1.3 评价决策类

2.1.4 NP-hard类

2.2 评价类模型求解

2.2.1 层次分析法（AHP）

2.2.2 多指标评价法（MCDA）

2.2.3 算法区别

三、层次分析法讲解

3.1 层次分析法的做题步骤

3.2 层次分析模型的解题思路

3.2.1 构造判断矩阵

3.2.2 一致性检验

3.2.3 得分计算

四、2021C类数学建模比赛真题讲解

4.1 题目分析

4.2 指标选择

未完待续

一、前言

层次分析模型（AHP）是一种系统化的多准则决策分析方法，适用于需要在多个相互冲突或互补的准则下做出决策的情景。它通过构建层次结构来明确决策目标、准则和备选方案，并使用0~9标度法进行两两比较来确定各准则和方案的相对重要性，进而通过一致性检验保证比较的一致性。层次分析模型适用于各种复杂决策问题，如项目选择、资源分配、供应商选择等，特别是在需要整合定性和定量信息，以及涉及多个决策者意见的情况中尤为有效。

二、历年题型分析

上述就是这几年数学建模比赛所考察的算法，以及每个算法求解的模型。下面把这几类算法，给大家归纳出最常用的解决方法，供大家参考。

2.1 常用算法归纳

2.1.1 优化类算法

线性规划、非线性规划、多目标规划、最短路径、最小生成树、动态规划

2.1.2 预测类算法

灰色预测、时间序列、回归分析、支持向量机、神经网络、马尔科夫模型

2.1.3 评价决策类

层次分析、TOPSIS法、灰色关联分析、模糊综合评价、主成分分析、聚类分析

2.1.4 NP-hard类

蚁群算法、粒子群算法、遗传算法、模拟退火

2.2 评价类模型求解

对于这几年数学建模比赛，评价优化类题目出现的频率还是蛮多滴，其中评价优化类题目一个常用解法就是层次分析法 (AHP)和多指标评价法(MCDA)。我找了很多资源进行学习，自我感觉层次分析法和多指标评价法的用法和解题思路大差不差，都是将一个评价类问题分成几个指标进行评估，计算最后的得分进行排序，层次分析法将问题分成了三层，目标层、准则层和方案层，主要思想是分而治之，而多指标评价法更多的是针对数据本身特点进行分析，使得评价结果更具有客观性。以下就是我从其他地方copy过来的两者的对比介绍，大家用辩证的思想来看待。

2.2.1 层次分析法（AHP）

特点：
- 基于层次结构，将决策问题分为目标层、准则层和方案层。
- 使用0~9标度法进行两两比较，确定准则和方案的相对重要性。
- 强调一致性检验以确保比较的合理性。
- 适用于定性与定量信息的综合评估。
应用场景：
- 项目选择和优先级排序。
- 投资决策。
- 资源分配。
- 供应商选择等。

2.2.2 多指标评价法（MCDA）

特点：
- 包括多种方法，如TOPSIS、AHP、DEA（Data Envelopment Analysis）、MABAC（Multi-Attribute Border Approximation Area Comparison）等。
- 涉及多个评价指标，既包括定量也包括定性指标。
- 可以使用不同的权重确定方法，如专家判断、统计方法等。
- 目的是寻找最优方案或对备选方案进行排序。
应用场景：
- 产品设计与选择。
- 环境影响评估。
- 公共政策制定。
- 供应链管理等。

2.2.3 算法区别

方法论差异：
- AHP特别强调层次结构和两两比较，而MCDA涵盖的方法更多样化。
- AHP的两两比较方法确保了决策的一致性，而MCDA中的某些方法可能不需要这种一致性检查。
适用场景：
- AHP更适合需要专家判断和两两比较的情景，尤其是当决策者需要直观地理解指标间的关系时。
- MCDA则适用于更广泛的情况，特别是当需要考虑多种评价方法和技术时。

本次任务我将带大家了解层次分析法，如何构建层次结构，如何挑选准则层的指标，如何使用0~9标度法建立判断矩阵，如何对矩阵进行一致性检验，如何计算最后的得分。最后带大家运用这个方法进行实战。并对2021年数学建模大赛C类第一题进行分析求解。

三、层次分析法讲解

对于一个评价类题目，无非就是对它的一些方案进行评价打分，根据它的得分进行排名，分出个三六九等，选出一个最优秀的方案。这里就引申出了层次分析法的三个构造层，目标层---我今天要干点啥，是去吃饭嘞还是去旅游，准则层---评价每个方案所需要的指标，求出每个指标的重要性，方案层---针对我提出的目标，一些可供挑选的方案，今天该吃点啥呀（馒头，包子，鸡公煲），明天该去哪儿玩（北京、上海、武汉）。

3.1 层次分析法的做题步骤

下面就举出一个具体例子带大家分析。

比如，今天我想买一件衣服，但是我选择恐惧症犯了，目前我看中了几款衣服，为了方便描述，就按照衣服的品牌来指代具体的衣服，第一件是阿迪的衣服，第二件是耐克的衣服，第三件是驴牌衣服。我想挑一件很符合我心意的衣服，因此我提出了几个判断指标，第一看衣服款式是否新颖，第二看价格是否实惠，第三看衣服评价怎样，第四看商家态度咋样。

由以上的分析，我们将问题引入层次分析模型。

3.2 层次分析模型的解题思路

上面已经构建了一个层次分析模型，目前我们要解决的问题是，对于上述几个指标，如何计算他们的权重，对于每一件衣服对应的指标，又该如何打分呢。以下我们引入了一个方法，0~9标度法。大家记住它的作用就是量化指标，比如对于衣服新颖度来说，这是一个抽象的概念，如何将他代入数值进行具体计算呢，这里就用到了一个方法叫两两比较法，也就是0~9标度法的重要思想。

3.2.1 构造判断矩阵

0~9标度法对应的分数

现在就来构造判断矩阵，大家注意因为通过0~9标度法构造的判断矩阵具有一定的主观性，判断准则和打分也因人而异，所以对于判断矩阵的构造，常用的方法就是专家打分，要么就是查阅文献进行打分，大家在写论文时候，就算没有找到专家资料，或者文献啥的，大家可以写通过查阅***文献，或者进行调查问卷，或者国家**统计局数据分析，得到了以下判断指标及判断矩阵，千万千万不要啥也不说就把指标跟判断矩阵列上去，没有一点理论依据的，这里给大家推荐一个查阅指标和数据的宝藏网站：虫部落快搜 - 搜索快人一步，后面博文会给大家讲熵权法和TOPSIS法,那个权重计算会更加客观一点。

下面就是我得到一个判断矩阵，这里因为是给大家讲解模型背后的理论，所以不谈依据，买衣服纯个人感觉。

指标的判断矩阵	衣服新颖度	衣服价格	衣服评价	商家态度
衣服新颖度	1	1/5	1/3	1/3
衣服价格	5	1	1/3	1/5
衣服评价	3	3	1	1/3
商家态度	3	5	3	1

这里大家可以看到，判断矩阵中的主对角线上的元素都是1，因为自己跟自己对比肯定是同等重要的，然后关于主对角线对称的元素都是互为倒数，在上述矩阵中，衣服价格对于衣服新颖度来说，是明显重要的，因为对于我来说，我更想买到一个实惠的衣服，所以判断矩阵对应数值就是5，衣服新颖度对于衣服价格来说，就是明显不重要的，所以对应是1/5。

然后分别列出每个指标对应的方案的判断矩阵，将方案的判断值量化分析。这里需要列出衣服新颖度----三种衣服的判断矩阵，衣服价格---对应三种衣服的判断矩阵，衣服评价---对应三种衣服的判断矩阵，商家态度---对应三种衣服的判断矩阵。下面就列举一个样例，大家做题的时候需要把所有的判断矩阵列举出来。

3.2.2 一致性检验

将所有的判断矩阵计算出来后，紧接着就要对每个矩阵进行一致性检验了，一致性检验是因为我们对每个指标进行评价打分，当指标多的时候，可能存在相互矛盾的地方，我们要将这种矛盾控制在一个合理的范围之内。比如说在一个判断矩阵中，我认为A比B重要，B又比C重要，结果又出现了C比A重要。

我会带着大家了解计算过程，具体的理论分析大家可以参考东北大学张震教授写的一篇论文----层次分析法一致性检验。

第一步：计算一致性指标CI

$CI=\frac{\lambda max - n}{n - 1}$

$\lambda max$ 表示判断矩阵的最大特征根，n表示指标个数

第二步:根据n值查找平均随机一致性指标RI

平均随机一致性指标
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.44	1.45	1.49	1.52	1.54	1.56	1.59

第三步：计算一致性比例CR

$CR = \frac{CI}{RI}$

对于最后的计算结果，如果CR < 0.1，表示所构造的判断矩阵可以使用，否则判断矩阵需要继续修改。

对于 $\lambda max$ 的计算过程，张教授文章里面都有提到，具体计算过程不深究。判断矩阵进行一致性检验的前需要归一化处理，计算过程就是每一个值除以所在列的和，为了方便大家计算，代码中都有处理，大家只需要添加原始数据即可。下面给大家安排上求解代码，大家只需要改写参数就好了，可以直接使用。

import numpy as np

# 判断矩阵
'''
judgment_matrix = np.array([
        [1,1/5,1/3,1/5],
        [5,1,3,3],
        [3,1/3,1,1/3],
        [5,1/3,3,1]
])
这里需要大家将自己的判断矩阵输入进去，变量名为judgment_matrix
'''

# 归一化判断矩阵
normalized_matrix = judgment_matrix / judgment_matrix.sum(axis=0)

# 计算特征向量（即各因素的权重）
weights = normalized_matrix.mean(axis=1)

# 输出权重
print("各因素的权重：", weights)

# 计算一致性指标 CI
lambda_max = np.linalg.eigvals(judgment_matrix).max().real
CI = (lambda_max - len(weights)) / (len(weights) - 1)

# 计算一致性比率 CR（假设 n=3, RI=0.58）
RI = 0.89   # 这里根据大家的n值，找出表格中对应的系数，修改为大家所需要的值即可
CR = CI / RI

print("一致性比率 CR：", CR)

# 一致性检验
if CR < 0.1:
    print("判断矩阵的一致性通过")
else:
    print("判断矩阵的一致性不通过，需要调整")

代码中大家将判断矩阵改为自己的判断矩阵，命名为：judgment_matrix,还需要修改RI值，根据自己指标个数对照RI表就可以知道具体数值了。

运行结果如下：

这些计算过程都可以体现在论文里面，比如判断矩阵最后权重的计算，一致性比率CR。

3.2.3 得分计算

通过以上计算，我们可以得到一个权重汇总表格，包含各个指标对应的权重，以及每个指标下方案的得分。

以上数据就是所有判断矩阵汇总的结果了，包括每个指标对应的权重以及每个方案在该指标下的得分，关于权重的计算代码中已经处理过了，在归一化的判断矩阵中，每行的平均数就代表该指标的权重。

$a1+a2+a3=1$

.......

$d1+d2+d3=1$

$w1+w2+w3+w4=1$

有了这些权重后，就可以计算最后的得分了。

$Score(nike)=w1*a1+w2*b1+w3*c1+w4*d1$

$Score(adidas)=w1*a2+w2*b2+w3*c2+w4*d2$

$Score(lv)=w1*a3+w2*b3+w3*c3+w4*d3$

根据这个最终得分排名就可以判断哪一件是我心中最理想的衣服了。

四、2021C类数学建模比赛真题讲解

4.1 题目分析

2021大学生数学建模比赛赛题

我简单讲一下这个题目，方便大家读题。这个题提供了240周企业对n个供应商每周的需求量，以及240周供应商对这个企业每周的供货量，根据这个数据判断出最重要的供货商。

首先大家很容易想到这是一个评价决策类题目，不就是对于n个供应商进行评价打分吗，然后选出前五十个得分最高的供货商。但是，这个题目没有说出企业挑选供应商的准则，也就是我们层次分析模型的准则层需要我们自己确认。如何确定判断准则呢？

4.2 指标选择

大家需要注意，指标选择不是随便选的，第一要求选择的指标对我们最后的决策有决定性影响，就像之前给大家介绍的例子一样，我们找出了四个指标--价格，款式，态度，评价，都是对我们最后选择衣服有很大决定性作用的，比如说平台，商家姓名啥的对我们最后决策没有一点作用，我们肯定就不会考虑这些指标了；第二选择的指标要有理论支撑，要体现客观性，对于我们选衣服，全屏个人喜好，主观挑选没啥问题，但是对于论文来说，一定要有理有据。我们的理论依据可以是什么呢，文献支撑，找相关文献，某某文章对于***的评判用到了以下指标，或者查资料，专家分析该问题时候用到了以下指标，上述提到了那个网站虫部落就发挥作用了。