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文章目录

• 动态规划理论基础
• 一、理论基础
• • • 1.1 什么是动态规划
    • 1.2 动态规划的解题步骤
    • 1.3 动态规划应该如何debug
• 二、题目
• • 题目一： 509. 斐波那契数
  • • 解题思路：
    • 动态规划
    • 递归解法
  • 题目二：70. 爬楼梯
  • • 解题思路：
  • 题目三： 746. 使用最小花费爬楼梯
  • • 解题思路
• 总结

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动态规划理论基础

开始动态规划算法

一、理论基础

1.1 什么是动态规划

​ 动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

​ 所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

1.2 动态规划的解题步骤

对于动态规划问题，将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

1.3 动态规划应该如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

二、题目

题目一： 509. 斐波那契数

509. 斐波那契数

解题思路：

动态规划

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2. 确定递推公式

3. dp数组如何初始化

int n = 4;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
        cout << i << " " << j << endl;
    }
}

4. 确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5. 举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

以上我们用动规的方法分析完了，C++代码如下

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        vector<int> dp(N + 1);
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[N];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

我们只需要维护两个数值就可以了，不需要记录整个序列。

代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N <= 1) return N;
        int dp[2];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int sum = dp[0] + dp[1];
            dp[0] = dp[1];
            dp[1] = sum;
        }
        return dp[1];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

递归解法

• 递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量，一个用来存放符合条件单一结果，一个用来存放符合条件结果的集合。

class Solution {
public:
    int fib(int N) {
        if (N < 2) return N;
        return fib(N - 1) + fib(N - 2);
    }
};

• 时间复杂度：O(2^n)
• 空间复杂度：O(n)，算上了编程语言中实现递归的系统栈所占空间

题目二：70. 爬楼梯

70. 爬楼梯

解题思路：

本题如果没有接触过的话，会感觉比较难，多举几个例子，就可以发现其规律。

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层 ，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯 和 到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2. 确定递推公式

dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3. dp数组如何初始化

4. 确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5. 举例推导dp数组

举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

// 版本一
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n; // 因为下面直接对dp[2]操作了，防止空指针
        vector<int> dp(n + 1);
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) { // 注意i是从3开始的
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

优化一下空间复杂度，代码如下：

// 版本二
class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if (n <= 1) return n;
        int dp[3];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int sum = dp[1] + dp[2];
            dp[1] = dp[2];
            dp[2] = sum;
        }
        return dp[2];
    }
};

• 时间复杂度：$O(n)$
• 空间复杂度：$O(1)$

题目三： 746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯

解题思路

1. 定义dp数组：

   • dp[i] 表示到达第 i 个台阶所需的最少体力。

2. 建立递推关系：

   • 每个台阶 i 可以从台阶 i-1 或 i-2 跳上来。
   • dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])。

3. 初始化dp数组：

   • dp[0] 和 dp[1] 都初始化为 0，因为到达第一个台阶不需要体力。

4. 确定遍历顺序：

   • 从第一个台阶开始，逐个计算每个台阶的 dp[i] 值。

5. 举例说明：

   • 通过一个具体的例子（如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1]），展示 dp 数组如何逐步构建。

   具体的结果如下图所示：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，C++代码如下：

// 版本二
class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
            dp0 = dp1; // 记录一下前两位
            dp1 = dpi;
        }
        return dp1;
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)

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总结

• 动态规划五部曲：动态规划数组和下标的定义，递归公式，动态数组的初始化，确定遍历顺序，推导数组。
• 动态规划的一些技巧，能维护变量就不要维护数组。