前言

在数值计算和线性代数的众多应用中，Kronecker 积（Kronecker Product）是一种常用的矩阵运算。Eigen 是一个高性能的 C++ 数值计算库，广泛用于科学计算和工程应用中。在 Eigen 库中，Kronecker 积运算属于不常用的扩展功能，因此被放置在 unsupported 模块中。

本文将介绍如何在 Eigen 中使用 Kronecker 积，并解释为什么这个功能位于 unsupported 模块中。

什么是 Kronecker 积？

Kronecker 积是两个矩阵之间的二元运算，其结果是一个更大的矩阵。具体来说，如果矩阵 A 的尺寸为 m x n，矩阵 B 的尺寸为 p x q，那么 Kronecker 积A ⊗ B的结果矩阵将具有尺寸 mp x nq。

例如，假设我们有以下两个矩阵：

A = [1 2]
    [3 4]

B = [0 5]
    [6 7]

它们的 Kronecker 积 A ⊗ B 结果为：

A ⊗ B = [ 0  5  0 10]
        [ 6  7 12 14]
        [ 0 15  0 20]
        [18 21 24 28]

在 Eigen 中使用 Kronecker 积

在 Eigen 库中，Kronecker 积函数 kroneckerProduct 位于 unsupported 模块中，因此需要引入特定的头文件。

引入头文件

首先，需要在代码中包含以下头文件：

#include <unsupported/Eigen/KroneckerProduct>

注意： 如果你的项目使用了 Eigen，通常你会包含 Eigen 的核心模块头文件，例如：

#include <Eigen/Dense>

然而，kroneckerProduct 函数并不在这些核心模块中，而是在 unsupported 模块中提供，因此需要单独包含。

示例代码

下面是一个完整的示例，演示如何在 Eigen 中计算两个矩阵的 Kronecker 积：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>
#include <unsupported/Eigen/KroneckerProduct>

int main() {
    Eigen::Matrix2d A;
    A << 1, 2,
         3, 4;

    Eigen::Matrix2d B;
    B << 0, 5,
         6, 7;

    Eigen::Matrix4d C = Eigen::kroneckerProduct(A, B);

    std::cout << "Kronecker Product of A and B is:\n" << C << std::endl;

    return 0;
}

编译并运行这个程序，将得到如下输出：

Kronecker Product of A and B is:
 0  5  0 10
 6  7 12 14
 0 15  0 20
18 21 24 28

具体计算过程

给定矩阵：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$

和

$$B=\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]$$

Kronecker 积 $A\otimes B$ 计算步骤如下：

1. 矩阵 $A$ 的元素分别为：

$$a_{11}=1,a_{12}=2,a_{21}=3,a_{22}=4$$

2. 矩阵 $B$ 为：

$$B=\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]$$

3. 计算每个块矩阵：

$$a_{11}B=1\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]$$

$$a_{12}B=2\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 10\\ 12& 14\end{array}\right]$$

$$a_{21}B=3\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 15\\ 18& 21\end{array}\right]$$

$$a_{22}B=4\cdot \left[\begin{array}{cc}0& 5\\ 6& 7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 20\\ 24& 28\end{array}\right]$$

4. 将这些块矩阵排列成最终的 Kronecker 积矩阵：

$$A\otimes B=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}B& a_{12}B\\ a_{21}B& a_{22}B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 10\\ 6& 7& 12& 14\\ 0& 15& 0& 20\\ 18& 21& 24& 28\end{array}\right]$$

总结

Eigen 库为 C++ 提供了强大的数值计算功能，其中包括通过unsupported/Eigen/KroneckerProduct 头文件引入的 Kronecker 积运算。