黄小宁
数学图可是“离散”的点组成的点集N=｛0，1，2，…，n，…0｝（各数是点的坐标）。设本文所说集合往往是元不少于两个的集。定义：若数（点）集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。
变量n取自然数∈N，“自然数集”N一切≥1的元n≥1组成N+=｛n≥1｝中的
n≥1只是表示n可取N一切≥1的数。读者画出点集N、N+的图像可一眼看出N=｛x=n≥0｝不≌其子部N+。点集N=｛x=n≥0｝=｛0，1，2，…，n，…｝⊂x轴各点x=n≥0沿x轴保距平移变为点x’=x+1=n+1≥1得元为点x’的H=｛1，2，3，…，x’=n+1≥1，…｝≌N即N沿x轴平移变成点集H≌N。H≌N，而N+不≌N说明H不=N+。所以“H=N+”这一初等数学几百年函数“常识”是将两异集误为同一集的错误。这使康脱推出错上加错的更重大错误：N对等于其真子集N+。
x轴的子部点集A =｛0,2｝中：点0移位变为点2的同时2变为2（即点2变回自己）就使A 失去元素0变为｛2，2｝，A 各元都发生变化（点2原地不动是变回自己）后就使A 变为｛2｝了。可见 A失去元0的原因必总可是：点0离开原位与点2重合的同时点2变回自己；此变换中原像：0与2的距离是2，像：2与2的距离是0≠2，所以A 变为｛2｝是不保距变换——说明有h重要结论：一点集W若有部分元移动而与别的元∈W重合的同时其余元都原地不动则必使W失元变为非空V⊂W，而此变换一定是不保距变换。所以任何点集W作刚体（保距）运动绝不能变为V⊂W，例“无界”的x轴沿本身平移非0距离不能成为x轴的一部分。注1：B=｛1,2，3｝中若点1移位变为点2的同时2又变为3，则点1没有与点2重合在同一位置，因点1移位的同时原来的点2∈B离开了原位。注2：仅凭数集W失去部分元不能断定W变成其真子集，必须证明W失元的同时其各元都没有变为W外数才能断定W变成其真子集。
点集N=｛x=n≥0｝=｛0，1，2，…，n，…｝⊂x轴中的点0沿x轴移动变为点1的同时N其余非0元n都原地不动即各n都变回自己就使N失去元素0变为N+=｛n≥1｝。这N变为N+⊂N是不保距变换即不是N的刚体运动使N不≌N+⊂N。
本文实际上是黄小宁的长文《直线公理使初等数学一直将各异直线误为同一线——数集相等定义凸显初数一直将各异假R误为R》的一小部分。