欧拉函数

news2024/9/21 2:40:07

互质：

互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者特殊情况。

（1和-1与所有整数互质，而且它们是唯一与0互质的整数）

互质的判断方法：

（1）两个数互质的情况

1）两个不同的质数是互质的。

2）较大数是质数的两个数是互质数

3）相邻的两个自然数是互质数

4）相邻的两个奇数是互质数

5）最大公约数是1，两个数互质

（2）三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况

一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2，3，5

一种不是两两互质的，如6，8，9

欧拉函数：

一般记作 $\phi(N)$ ，是指 $1-N$ 中与 $N$ 互质的数的个数

将 $N$ 看成质因数的乘积形式： $N={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}...{p_k}^{\alpha_k}$

其中： $p_n$ 代表各个质因子； $\alpha_n$ 代表各个质因子的质指数。

那么 $\phi(N) = N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_k})$

step1：

采用分解质因数的方法，分别求出N质因数乘积式中的每一个质因数p_n

分解质因数：http://t.csdnimg.cn/Tmf0G

step2：

每第一次遇到一个质因数，就套用公式 res = res/i*(i-1)

（注意：因为公式中不涉及到任何一个质因数的指数，所以 res = res/i*(i-1) 不应该放在while(x%i==0) 之中）

step3：

输出结果

题目如下：

给定 n 个正整数 ai，请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个正整数 ai。

输出格式

输出共 n 行，每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。

数据范围

1≤n≤100
1≤ai≤2×109

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

int n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        int res = x;//注意res的初始值是x，因为在公式的一开始是N本身
        
        for (int i =2 ;i<=x/i;++i)
        {
            if (x % i == 0)
            {
                res = res/i * (i-1);//这里注意要先进行除法，再进行乘法
                                    //不然会爆掉int
                                    //爆掉int后，取值就是超过int最大值的部分，如超过int最大值1
                                    //那么爆掉int后的取值就是1
                while(x % i ==0)
                x = x/i;
            }
        }
        if (x > 1)
        res = res/x * (x-1);
        
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}