欧拉 函数

news2024/11/14 13:47:56

 互质:

互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数,后者是前者特殊情况。

1和-1与所有整数互质,而且它们是唯一与0互质的整数

互质的判断方法:

(1)两个数互质的情况

1)两个不同的质数是互质的。

2)较大数是质数的两个数是互质数

3)相邻的两个自然数是互质数

4)相邻的两个奇数是互质数

5)最大公约数是1,两个数互质

(2)三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况

一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2,3,5

一种不是两两互质的,如6,8,9

 欧拉函数:

一般记作\phi(N),是指1-N中与N互质的数的个数

N看成质因数的乘积形式:N={p_1}^{\alpha_1}{p_2}^{\alpha_2}...{p_k}^{\alpha_k}

其中:p_n代表各个质因子;\alpha_n代表各个质因子的质指数。 

那么\phi(N) = N(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_k})

step1:

采用分解质因数的方法,分别求出N质因数乘积式中的每一个质因数p_n

分解质因数http://t.csdnimg.cn/Tmf0G

step2:

每第一次遇到一个质因数,就套用公式 res = res/i*(i-1)

(注意:因为公式中不涉及到任何一个质因数的指数,所以 res = res/i*(i-1) 不应该放在while(x%i==0) 之中)

step3:

输出结果

题目如下:

给定 n 个正整数 ai,请你求出每个数的欧拉函数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行,每行包含一个正整数 ai。

输出格式

输出共 n 行,每行输出一个正整数 ai 的欧拉函数。

数据范围

1≤n≤100
1≤ai≤2×109

代码如下:

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

int n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int x;
        cin >> x;
        
        int res = x;//注意res的初始值是x,因为在公式的一开始是N本身
        
        for (int i =2 ;i<=x/i;++i)
        {
            if (x % i == 0)
            {
                res = res/i * (i-1);//这里注意要先进行除法,再进行乘法
                                    //不然会爆掉int
                                    //爆掉int后,取值就是超过int最大值的部分,如超过int最大值1
                                    //那么爆掉int后的取值就是1
                while(x % i ==0)
                x = x/i;
            }
        }
        if (x > 1)
        res = res/x * (x-1);
        
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

(1)公式推导

(2)要先写除法,再写乘法 res = res/i * (i-1) 

 res = res/i*(i-1) res = res*(1-1/i) 是一样的,不过是前者先进行了除法,后者先进行了乘法

(3)res = res/i*(i-1)不应放在while(x%i == 0)之中 

因为欧拉公式中不涉及到任何质因数的指数。

如果将 res = res/i*(i-1) 放到 while(x%i==0) 之中,面对一个质因数p_1的指数是2,那么res最后的答案中就会乘了两次(1-\frac{1}{p_1})

放进 while(x%i==0) 中,质因数的指数就会对结果产生影响

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