【数模修炼之旅】10 遗传算法 深度解析（教程+代码）
接下来 C君将会用至少30个小节来为大家深度解析数模领域常用的算法，大家可以关注这个专栏，持续学习哦，对于大家的能力提高会有极大的帮助。
1 遗传算法介绍及应用
1.1 遗传算法介绍
遗传算法通过模拟自然界的遗传机制（如选择、交叉、变异等）来优化问题的解。它从一组随机生成的初始解（种群）开始，通过迭代的方式不断优化种群中的个体，以期望找到问题的最优解或近似最优解
核心要素：
-
- 编码：将问题的解表示为某种形式的字符串（如二进制串），称为染色体或基因型。
- 初始种群：随机生成一组初始解作为种群的开始。
- 适应度函数：用于评估种群中每个个体的优劣，通常与目标函数相关。
- 选择操作：根据适应度函数选择优秀的个体作为父代，用于生成下一代。
- 交叉操作：通过交叉父代的染色体来生成新的子代个体。
- 变异操作：以一定的概率对子代个体的染色体进行随机变异，以增加种群的多样性。
- 特点有：
- 直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定。
- 具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力。
- 采用概率化的寻优方法，不需要确定的规则就能自动获取和指导优化的搜索空间。
1.2 遗传算法在数模中的应用
- 组合优化问题：
- 如旅行商问题（TSP）、背包问题、调度问题等。遗传算法可以通过编码解空间中的不同组合，并通过选择、交叉和变异操作来寻找最优解或近似最优解。
- 函数优化问题：
- 包括求解函数的最大值、最小值等。遗传算法可以直接对函数的自变量进行编码，并通过不断迭代优化来逼近最优解。
- 参数优化问题：
- 在机器学习、神经网络等领域中，经常需要优化模型的参数以提高性能。遗传算法可以通过对模型参数进行编码，并利用适应度函数来评估不同参数组合的效果，从而找到最优的参数组合。
- 多目标优化问题：
- 在许多实际问题中，往往需要同时优化多个目标。遗传算法可以通过引入多目标进化算法（如NSGA-II）来处理这类问题，通过比较不同解之间的Pareto优劣关系来指导搜索过程。
2 遗传算法的基本步骤
它通过模拟自然界的进化过程，如选择、交叉（也称杂交）、变异等，来寻找问题的最优解。遗传算法的基本步骤可以详细归纳如下：
3 遗传算法代码（matlab+python）
3.1 python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
DNA_SIZE = 24
POP_SIZE = 200
CROSSOVER_RATE = 0.8
MUTATION_RATE = 0.005
N_GENERATIONS = 50
X_BOUND = [-3, 3]
Y_BOUND = [-3, 3]
def F(x, y):
return 3*(1-x)**2*np.exp(-(x**2)-(y+1)**2)- 10*(x/5 - x**3 - y**5)*np.exp(-x**2-y**2)- 1/3**np.exp(-(x+1)**2 - y**2)
def plot_3d(ax):
X = np.linspace(*X_BOUND, 100)
Y = np.linspace(*Y_BOUND, 100)
X,Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = F(X, Y)
ax.plot_surface(X,Y,Z,rstride=1,cstride=1,cmap=cm.coolwarm)
ax.set_zlim(-10,10)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
plt.pause(3)
plt.show()
def get_fitness(pop):
x,y = translateDNA(pop)
pred = F(x, y)
return (pred - np.min(pred)) + 1e-3 #减去最小的适应度是为了防止适应度出现负数，通过这一步fitness的范围为[0, np.max(pred)-np.min(pred)],最后在加上一个很小的数防止出现为0的适应度
def translateDNA(pop): #pop表示种群矩阵，一行表示一个二进制编码表示的DNA，矩阵的行数为种群数目
x_pop = pop[:,1::2]#奇数列表示X
y_pop = pop[:,::2] #偶数列表示y
#pop:(POP_SIZE,DNA_SIZE)*(DNA_SIZE,1) --> (POP_SIZE,1)
x = x_pop.dot(2**np.arange(DNA_SIZE)[::-1])/float(2**DNA_SIZE-1)*(X_BOUND[1]-X_BOUND[0])+X_BOUND[0]
y = y_pop.dot(2**np.arange(DNA_SIZE)[::-1])/float(2**DNA_SIZE-1)*(Y_BOUND[1]-Y_BOUND[0])+Y_BOUND[0]
return x,y
def crossover_and_mutation(pop, CROSSOVER_RATE = 0.8):
new_pop = []
for father in pop: #遍历种群中的每一个个体，将该个体作为父亲
child = father #孩子先得到父亲的全部基因（这里我把一串二进制串的那些0，1称为基因）
if np.random.rand() < CROSSOVER_RATE: #产生子代时不是必然发生交叉，而是以一定的概率发生交叉
mother = pop[np.random.randint(POP_SIZE)] #再种群中选择另一个个体，并将该个体作为母亲
cross_points = np.random.randint(low=0, high=DNA_SIZE*2) #随机产生交叉的点
child[cross_points:] = mother[cross_points:] #孩子得到位于交叉点后的母亲的基因
mutation(child) #每个后代有一定的机率发生变异
new_pop.append(child)
return new_pop
def mutation(child, MUTATION_RATE=0.003):
if np.random.rand() < MUTATION_RATE: #以MUTATION_RATE的概率进行变异
mutate_point = np.random.randint(0, DNA_SIZE) #随机产生一个实数，代表要变异基因的位置
child[mutate_point] = child[mutate_point]^1 #将变异点的二进制为反转
def select(pop, fitness): # nature selection wrt pop's fitness
idx = np.random.choice(np.arange(POP_SIZE), size=POP_SIZE, replace=True,
p=(fitness)/(fitness.sum()) )
return pop[idx]
def print_info(pop):
fitness = get_fitness(pop)
max_fitness_index = np.argmax(fitness)
print("max_fitness:", fitness[max_fitness_index])
x,y = translateDNA(pop)
print("最优的基因型：", pop[max_fitness_index])
print("(x, y):", (x[max_fitness_index], y[max_fitness_index]))
if __name__ == "__main__":
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)
plt.ion()#将画图模式改为交互模式，程序遇到plt.show不会暂停，而是继续执行
plot_3d(ax)
pop = np.random.randint(2, size=(POP_SIZE, DNA_SIZE*2)) #matrix (POP_SIZE, DNA_SIZE)
for _ in range(N_GENERATIONS):#迭代N代
x,y = translateDNA(pop)
if 'sca' in locals():
sca.remove()
sca = ax.scatter(x, y, F(x,y), c='black', marker='o');plt.show();plt.pause(0.1)
pop = np.array(crossover_and_mutation(pop, CROSSOVER_RATE))
#F_values = F(translateDNA(pop)[0], translateDNA(pop)[1])#x, y --> Z matrix
fitness = get_fitness(pop)
pop = select(pop, fitness) #选择生成新的种群
print_info(pop)
plt.ioff()
plot_3d(ax)
3.2 matlab
使用MATLAB内置的遗传算法函数，如ga（全局优化工具箱中的函数）。以下是一个简单的MATLAB代码示例，展示了如何使用ga函数来解决一个优化问题。
然后，编写：
function genetic_algorithm_example
% 定义目标函数（注意：ga默认是最小化问题，所以我们需要取反来最大化）
fitnessFunction = @(x) -(-sin(x(1)) - cos(x(2))); % 取反来最大化
% 定义变量的边界
nvars = 2; % 变量数量
LB = -pi * ones(nvars, 1); % 下界
UB = pi * ones(nvars, 1); % 上界
% 遗传算法选项
options = optimoptions('ga', 'PlotFcn', @gaplotbestf, ...
'MaxGenerations', 100, ...
'PopulationSize', 100, ...
'Display', 'iter');
% 运行遗传算法
[x, fval] = ga(fitnessFunction, nvars, [], [], [], [], LB, UB, [], options);
% 输出结果（注意：因为我们在目标函数中取了反，所以这里要再次取反）
fprintf('最优解: x = %.4f, y = %.4f\n', x(1), x(2));
fprintf('最大函数值: %f\n', -fval); % 取反回真实最大值
end在这个例子中，fitnessFunction 是我们要优化的目标函数，但因为我们想要最大化这个函数，而ga默认是最小化问题，所以我们通过取反（-(-sin(x(1)) - cos(x(2)))）来转换问题。
nvars 指定了变量的数量，这里是2（x和y）。
LB 和 UB 分别定义了变量的下界和上界。
options 是一个结构体，用于设置遗传算法的选项，如绘图函数、最大代数、种群大小等。
最后，ga 函数被调用，并传入目标函数、变量数量、边界和选项。它返回最优解 x 和对应的目标函数值 fval（注意这里已经是取反后的值，所以我们需要再次取反以得到真实的最大值）。
需要参加数模竞赛的同学，可以看下面的名片，会有最新的助攻哦：（大型比赛前会对名片进行更新）
