😀前言
在编程面试中，求解从 1 到 n 的整数中数字 1 出现的次数是一个常见的挑战。该问题的关键在于如何高效地统计数字 1 出现的次数。本文将详细分析该问题的解题思路，并提供一个高效的 Java 实现。

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🥰从 1 到 n 整数中 1 出现的次数

NowCoder

😀问题描述

给定一个整数 n，求从 1 到 n 的所有整数中，数字 1 在各个位数上出现的次数。例如，在 1 到 13 中，包含 1 的数字有 1、10、11、12、13，因此数字 1 出现了 6 次。

注意：11 这种情况算两次

数据范围： 1≤n≤30000

进阶：空间复杂度 O(1) ，时间复杂度 O(lognn)

示例1

输入：13

返回值：6

示例2

输入：0

返回值：0

🤔解题思路

直接遍历从 1 到 n 的每一个整数并统计其中出现的 1 的次数是最直观的方法，但这种方法的时间复杂度为 O(n log n)，在 n 较大时效率较低。为了解决这个问题，我们可以使用数学方法来提高效率。

该问题的解法可以基于以下几点进行优化：

1. 逐位计算：我们可以从个位、十位、百位等逐位计算每一位上 1 出现的次数。
2. 数字分段：对于任意一个数位，我们将 n 分为三个部分：高位、中间位、低位。具体来说，如果我们正在计算某一位上 1 出现的次数，我们可以将 n 分为三个部分：
   • 高位部分 a：比当前位更高的数字。
   • 当前位 m：当前正在计算的位。
   • 低位部分 b：比当前位更低的数字。
3. 数学推导：根据高位和当前位的值，可以推导出当前位上 1 出现的次数：
   • 当当前位上的数字小于 1 时，1 的出现次数仅取决于高位部分；
   • 当当前位上的数字等于 1 时，1 的出现次数不仅取决于高位部分，还与低位部分相关；
   • 当当前位上的数字大于 1 时，1 的出现次数受高位部分的影响。

根据上述思路，我们可以写出如下代码：

💝Java 实现

public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
    int cnt = 0; // 用于统计1出现的次数
    for (int m = 1; m <= n; m *= 10) { // 遍历每一位
        int a = n / m; // 高位部分
        int b = n % m; // 低位部分
        // (a + 8) / 10 * m 用于计算高位的影响
        // (a % 10 == 1 ? b + 1 : 0) 用于处理当前位是1的情况
        cnt += (a + 8) / 10 * m + (a % 10 == 1 ? b + 1 : 0);
    }
    return cnt; // 返回1出现的总次数
}

❤️‍🔥代码详解

1. 变量初始化：cnt 用于累计数字 1 出现的次数。m 是用于定位当前位的权重，初始为 1。
2. 逐位计算：通过 m *= 10 循环遍历每一位数字。a 表示当前位的高位部分，b 表示当前位的低位部分。
3. 1 的出现次数计算：
   • (a + 8) / 10 * m：这是一个简化的计算方式，用于判断在当前位上，1 出现的次数受高位的影响。(a + 8) / 10 处理了高位部分的影响。
   • a % 10 == 1 ? b + 1 : 0：用于处理当前位是 1 的情况。如果当前位为 1，则加上低位部分的值 b + 1，否则加 0。
4. 返回结果：最终 cnt 的值就是从 1 到 n 中数字 1 出现的总次数。

❤️‍🔥复杂度分析

该算法的时间复杂度为 O(log n)，因为我们遍历的次数与 n 的位数有关，而空间复杂度为 O(1)，仅使用了常量级的额外空间。

😄总结

通过逐位分析和数学推导，我们可以高效地求解从 1 到 n 的整数中 1 出现的次数。该算法比直接遍历方法更高效，尤其适用于较大的 n。

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