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排序问题的示例与分析：递归与分治

插入排序：

类似于排序扑克牌。先把第一个元素当成已排序序列，然后把第二个纳入，用一次插入排序，然后将第三个纳入……

插入排序性能分析

大O表示上界，最差情况不外如是。

欧米噶表示下限，最好情况。

这里的上界下界一般都是确界，是刚刚好的情况，不是随便选一个特别大或者特别小的情况就可以。

中间有一杠的O，表示其上界下界都可以用一个级别的函数表示（只有系数差距，没有质变）

小o表示上界是f(n)，且下界不是f(n)

对付大批量数据，还是要用分治法：

我们可以简单发现归并排序复杂度是log2n级别的。但是如果这个表达式是更加复杂的版本呢？

复杂度计算法：

方法一：猜一个式子，然后用数学归纳法验证它。

先假设在0<n<n0的时候T(n)<=cn^3，把式子带进去。

可以看到只要c随便取一个比2大的数，就可以轻松秒杀任意的n0，绝杀无解。不过n^3有点太大了吧？

cn^2+n绝无可能比cn^2小，没办法了吗？好像差距不大啊：

这里再举一个例子：

下面这种算法是

递归树法：

先写上可以确定的作为最上层的，叶子就是还不确定，要接着算的，然后就接着拆开……

主方法

注意这种方法专门针对这种形式，是这种问题的简单解法。

这样求解公式被分成了两个部分。

如果f(n)比较小（真小的那种，不能是相当，而且是n^某某次方（不是无穷小，/lgn啥的不行））那就就是以n^logb(a)为主

如果二者相当，那就是n^logb(a) * lg(n)

如果f(n)比较大且占据n^*级别优势，那就是f(n)为主。这个条件比较苛刻，还要求af(n/b) <= cf(n)  (c要小于1！，n要大)

注意这里的都是带等号的O！上下界都是这个，是很强的结论

我们举几个例子：

最后一个例子中，虽然是f(n)比较小，应该是第一种情况，但小得不够多，不构成n^*级别优势，所以不成。

三种方法中，最后这种主方法是最重要的。

大整数乘法

XY的乘法式子可以改写成两种形式：

改写成下面两种形式只需要3次乘法（原版要4次）实际上一般用1方法，先做减法比较好。