算法的学习笔记—最小的 K 个数(牛客JZ40)

news2024/11/15 10:44:44

😀前言
在编程面试中，找出一个数组中最小的K个数是一个常见的问题。虽然看似简单，但要在高效性方面有所保证却并不容易。本文将介绍两种有效解决该问题的算法：基于堆的解法和快速选择算法。我们将详细讲解它们的实现方式、时间复杂度分析以及适用场景，帮助你在面试中从容应对这一问题。

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文章目录

最小的 K 个数
- 题目链接
- 问题描述
- - 数据范围和要求
- 方法一：基于堆的解法
- - 具体思路
  - 时间复杂度分析
  - 适用场景
- 方法二：快速选择算法
- - 具体思路
  - 代码实现
  - 时间复杂度分析
  - 适用场景
- 😄总结

最小的 K 个数

题目链接

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问题描述

给定一个长度为n的数组，数组中可能包含重复值。要求找出其中不去重的最小的k个数。例如，给定数组 [4,5,1,6,2,7,3,8] 和 k=4，则返回 [1,2,3,4]（任意顺序皆可）。

数据范围和要求

数据范围：0≤k,n≤10000，数组中每个数的大小在0到1000之间。
时间复杂度要求：O(nlogk)
空间复杂度要求：O(n)

方法一：基于堆的解法

堆是一种适合处理部分排序问题的数据结构。在本题中，我们使用大顶堆来维护最小的k个数。

具体思路

创建一个大小为k的大顶堆，用于存储当前找到的最小的k个数。
遍历数组元素，将每个元素加入大顶堆。
如果堆的大小超过k，则将堆顶元素移除。堆顶元素是堆中最大的数，这样可以确保堆中存储的都是当前最小的k个数。

在Java中，我们可以使用PriorityQueue类实现堆，并在初始化时通过Lambda表达式(o1, o2) -> o2 - o1来构建大顶堆。

import java.util.ArrayList;
import java.util.PriorityQueue;

public class Solution {
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int[] nums, int k) {
        // 如果k大于数组长度或k小于等于0，直接返回空的结果
        if (k > nums.length || k <= 0) {
            return new ArrayList<>();
        }
        
        // 创建一个大顶堆，用于存储最小的k个数
        PriorityQueue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> o2 - o1);
        
        // 遍历数组中的每个元素
        for (int num : nums) {
            // 将元素加入大顶堆
            maxHeap.add(num);
            // 如果堆的大小超过k，移除堆顶元素（即最大元素）
            if (maxHeap.size() > k) {
                maxHeap.poll();
            }
        }
        
        // 将堆中的元素转为ArrayList返回
        return new ArrayList<>(maxHeap);
    }
}

时间复杂度分析

在此算法中，维护堆的插入和删除操作的时间复杂度为O(logk)。因此，遍历整个数组的时间复杂度为O(nlogk)，最终的空间复杂度为O(k)，这是由于堆的存储占用的空间。

适用场景

这种基于堆的解法特别适合处理大规模数据，尤其是当k较小且数据量n较大时，它的效率优势更加明显。

方法二：快速选择算法

快速选择算法基于快速排序的思想，通过分治法快速找到第k个最小的元素，并将前k个元素放在数组的前k个位置上。

具体思路

使用快速排序的partition()方法，将数组分割成两部分，其中一部分比选定的pivot小，另一部分比pivot大。
通过调整pivot的位置，可以快速定位到第k个最小的元素。
最终数组的前k个元素即为最小的k个数。

代码实现

import java.util.ArrayList;

public class Solution {
    public ArrayList<Integer> GetLeastNumbers_Solution(int[] nums, int k) {
        ArrayList<Integer> ret = new ArrayList<>();
        // 如果k大于数组长度或k小于等于0，直接返回空的结果
        if (k > nums.length || k <= 0) {
            return ret;
        }
        
        // 使用快速选择算法找到第k个最小元素
        findKthSmallest(nums, k - 1);
        
        // 将前k个元素加入结果列表
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            ret.add(nums[i]);
        }
        return ret;
    }

    // 快速选择算法，找到数组中第k个最小的元素
    public void findKthSmallest(int[] nums, int k) {
        int l = 0, h = nums.length - 1;
        while (l < h) {
            // 调用partition方法对数组进行分区
            int j = partition(nums, l, h);
            // 如果找到的分区位置正好是k，则停止
            if (j == k) {
                break;
            }
            // 如果分区位置大于k，调整高位指针
            if (j > k) {
                h = j - 1;
            } else {
                // 如果分区位置小于k，调整低位指针
                l = j + 1;
            }
        }
    }

    // partition方法对数组进行分区，使得左边元素小于pivot，右边元素大于pivot
    private int partition(int[] nums, int l, int h) {
        int p = nums[l];  // 选取数组的第一个元素作为pivot
        int i = l, j = h + 1;
        while (true) {
            // 从左向右找到第一个大于pivot的元素
            while (i != h && nums[++i] < p);
            // 从右向左找到第一个小于pivot的元素
            while (j != l && nums[--j] > p);
            // 如果左右指针交错，退出循环
            if (i >= j) {
                break;
            }
            // 交换这两个元素的位置
            swap(nums, i, j);
        }
        // 最后将pivot放到正确的位置
        swap(nums, l, j);
        return j;  // 返回pivot的位置
    }

    // 交换数组中两个元素的位置
    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int t = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = t;
    }
}