矢量运动

矢量

基础

• 矢量的分量是该矢量在相应轴上的投影。
  
  $a_x=acoosQ,a_y=asinQ$
• 求解矢量分量的过程称为分解矢量。
• 矢量的投影是线性代数和向量分析中的一个重要概念，它描述了一个向量在另一个向量方向上的“分量”大小。具体来说，向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影是一个标量，表示$\mathbf{a}$沿着$\mathbf{b}$方向上的“长度”或“大小”。
• 已知分量为$a_x和a_y$，欲求出它的大小和角度标记
  $$\begin{gathered} a=\sqrt{a_x^2+a_y^2} \\ tanQ=\frac{a_y}{a_x} \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} 当某人发射激光束以角度为斜向上60度，向前上方从地面射向空中， \\ 当激光束的末尾距离地面某人所处的为950米时， \\ 请问，该激光束末尾向下和向前离该人有多远？ \\ {a}_x=950\ast cos(60^{\circ })=475 \\ {a}_y=950\ast sin(60^{\circ })=822.72 \end{gathered}$$

julia> angle_deg=60
60

julia> angle_rad=angle_deg*pi/180
1.0471975511965976

julia> cos(angle_rad)
0.5000000000000001

julia> sin(angle_rad)
0.8660254037844386

julia> sin(angle_rad)*950
822.7241335952167

julia> cos(angle_rad)*950
475.0000000000001

• Julia语言中cos函数
  用于计算给定角度（以弧度为单位）的余弦值。这个函数是Julia标准库中的一部分，特别是它位于math模块中，但通常不需要显式地调用这个模块，因为Julia会自动引入许多常用的数学函数。

要使用cos函数，你只需直接调用它并传入一个以弧度为单位的角度值。下面是一个简单的例子：

# 计算π/4（即45度角，转换为弧度）的余弦值
angle_rad = pi / 4
cosine_value = cos(angle_rad)

println(cosine_value)

在这个例子中，pi是Julia中的一个常量，表示π的值。我们将π除以4得到π/4（即45度角转换为弧度），然后计算这个角度的余弦值，并将结果打印出来。

如果你有一个以度为单位的角度，并且想要计算它的余弦值，你需要先将这个角度转换为弧度。这可以通过将角度乘以π并除以180来实现：

# 假设我们有一个以度为单位的角度
angle_deg = 45

# 将角度转换为弧度
angle_rad = angle_deg * pi / 180

# 计算余弦值
cosine_value = cos(angle_rad)

println(cosine_value)

这样，你就可以使用Julia的cos函数来计算任意角度（以弧度为单位）的余弦值了。

定义

设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是两个非零向量，$\theta$是$\mathbf{a}$与$\mathbf{b}$之间的夹角（$0\le \theta \le \pi$）。则向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影的长度为：

$$|{\text{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}|=|\mathbf{a}|\cos \theta$$

其中，$|\mathbf{a}|$和$|\mathbf{b}|$分别是向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的模（长度）。

计算方法

1. 使用点积（内积）：
   向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的点积定义为：
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}|\times |\mathbf{b}|\times \cos \theta$$
   因此，向量$\mathbf{a}$在向量$\mathbf{b}$上的投影的长度也可以表示为：
   $$|{\text{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}|=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$$

2. 方向：
   投影不仅有大小，还有方向。具体来说，如果$\theta <\frac{\pi }{2}$（即$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$之间的夹角为锐角或零角），则投影的方向与$\mathbf{b}$的方向相同；如果$\theta >\frac{\pi }{2}$（即$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$之间的夹角为钝角），则投影的方向与$\mathbf{b}$的方向相反。

示例

假设有两个向量$\mathbf{a}=(2,3)$和$\mathbf{b}=(4,1)$，我们需要计算$\mathbf{a}$在$\mathbf{b}$上的投影。

1. 首先计算两个向量的模：
   $$|\mathbf{a}|=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$$
   $$|\mathbf{b}|=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$$

2. 接着计算两个向量的点积：
   $$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=2\times 4+3\times 1=11$$

3. 最后计算投影的长度：
   $$|{\text{proj}}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}|=\frac{11}{\sqrt{17}}$$

注意：这个结果是投影的长度，而不是投影向量本身。如果需要得到投影向量，还需要将这个长度与$\mathbf{b}$的单位向量相乘。

矢量的分量

是描述矢量在不同方向上的“大小”或“长度”的数值。在二维或三维空间中，一个矢量可以通过其分量来完全定义。这些分量通常与坐标轴的方向相关联。

二维空间中的矢量分量

在二维平面直角坐标系中，一个矢量$\mathbf{a}$可以由其$x$分量和$y$分量来表示，即：

$$\mathbf{a}=(a_x,a_y)$$

其中，$a_x$是矢量$\mathbf{a}$在$x$轴方向上的分量，$a_y$是矢量$\mathbf{a}$在$y$轴方向上的分量。这两个分量都是标量，表示矢量在各自方向上的投影长度。

三维空间中的矢量分量

类似地，在三维空间直角坐标系中，一个矢量$\mathbf{a}$可以由其$x$分量、$y$分量和$z$分量来表示，即：

$$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$

其中，$a_x$、$a_y$和$a_z$分别是矢量$\mathbf{a}$在$x$轴、$y$轴和$z$轴方向上的分量。这三个分量也都是标量，表示矢量在各自方向上的投影长度。

分量的计算

在已知矢量坐标的情况下，分量的计算是直接的。但在某些情况下，我们可能需要通过其他方式（如投影）来计算分量。例如，在二维空间中，如果知道矢量$\mathbf{a}$和另一个单位矢量$\mathbf{u}$（其方向为$x$轴或$y$轴），则$\mathbf{a}$在$\mathbf{u}$方向上的分量可以通过投影来计算，即：

$${\text{proj}}_{\mathbf{u}}\mathbf{a}=|\mathbf{a}|\cos \theta$$

但在这个特定情况下，由于$\mathbf{u}$是单位矢量且方向与坐标轴一致，因此投影实际上就是$\mathbf{a}$在该坐标轴上的分量。

示例

假设在二维空间中有一个矢量$\mathbf{a}=(4,3)$，则：

• $a_x=4$ 是$\mathbf{a}$在$x$轴上的分量。
• $a_y=3$ 是$\mathbf{a}$在$y$轴上的分量。

在三维空间中，如果有一个矢量$\mathbf{b}=(1,-2,3)$，则：

• $b_x=1$ 是$\mathbf{b}$在$x$轴上的分量。
• $b_y=-2$ 是$\mathbf{b}$在$y$轴上的分量。
• $b_z=3$ 是$\mathbf{b}$在$z$轴上的分量。

参考文献

1.《物理学基础》
2. 文心一言
3. chatgpt