1.失之粗糙

以下，就来对 KMP 算法的性能做一分析。我们知道 KMP 算法的计算过程可以根据对齐位置相应的分为若干个阶段，然而每一个阶段所对应的计算量是有很大区别的。很快就会看到，如果只是简单地从最坏的角度来进行估计，我们将无法准确地来评估这种算法，而实际上真正有效的方法是，放眼整个计算过程，将整体的计算成本分摊到每一个阶段。

没错，分摊。我们这里需要再一次地借助分摊的分析技巧，而这里我们将要采用的估算方法也是分拆分析中的一种典型手法。

我们首先来看一种貌似无可厚非，但实则非常粗糙的估算方法。

这一方法建议我们将注意力放在文本串中的任意字符上，因为这种方法认为，我们只要估算出每一个字符所参与的比对次数，也自然地就可以得到整体的比对次数。然而我们很快就会发现，在任何一个特定的字符处，我们的模式串的确有可能会多次地后移。实际上不能构造出这样的例子，也就是相对于文本串中的某个特定字符，模式串有可能需要连续的后移多次，并且用其中多答 Ω(m) 个字符，与文本串中的这个字符进行比对。当然具体的次数可能是m/3、m/40 或者m/500。但无论如何，在渐进的意义上，都可以达到Ω(m)次。因此，如果再考虑到主串所贡献的那个因子 n，那么按照这种思路，KMP 的时间复杂度似乎会高达Ω(n*m)。

这样一个分析结论多少会让我们感到沮丧，因为蛮力算法也不过如此。然而事实上，这种方法的确实失之粗糙，而接下来更为精细地分析将表明，KMP 算法的效率即便在最坏情况下也不会超过线性O（n）。

2.精准估计

为了对KMP算法性能作出更为精细的分析，我们可以参照在第一章就确立的方法，将这个算法中，不涉及到实质计算内容的非迭代部分都删除掉，而将注意力集中于复杂度的主体，也就是其中的这个循环。

在这里，我们需要引入一个观察量 k。 在算法执行过程中的任何时刻，这个 k 都等于 2*i - j。实际上，在很多开发环境中，都提供了观察功能，允许你设置这样一个表达式，并且在算法的调试运行过程中，动态地给出表达式所对应的数值。

实际上，随的算法中这个迭代过程的不断推进，这个观察变量 k， 必然是单调递增的。这一性质并不难看出，实际上无非 if 和 else 两种可能。

1. 首先，如果当前这步迭代选取的是 if 分支，那么，根据算法的流程，i 和 j 会同步地递增一个单位。于是，作为 2*i - j，k 应该恰好增加一个单位。
2. 反之，如果当前这步迭代进入的是 else 分支，那么尽管 i 不会受到任何影响，但是 j 会被替换为它对应的 next 表项，你应该记得我们此前已经指出， j 所对应的那个 next 表项必然会严格地小于 j。也就是说，经过这样一次替代之后，在数值上 j 必然会严格地减少，所以 k 也至少会增加一个单位。

综合这两种情况，我们就会发现 ，k 随着迭代的进行的确会严格单调地不断递增。

因此，整个计算过程中所进行的迭代步数就绝对不会超过 k。也就是说只要我们能够界定 k 的上界，也就自然确定了整个算法复杂度的上界。那么 k 的变化幅度究竟是多大呢？

1. 首先，既然 i 和 j 的初值都是0，所以 k 的初值也应该是0。
2. 而在算法结束时，i 至多与 n 同阶，而 j 也至少是一个常数。这也就意味着在渐进的意义上，k 绝对不会超过线性的范围。

至此，我们也就确凿地给出了 KMP 算法性能的一个准确估计。是的，这里给出的估计方法非常初等，因此其结论也毋庸置疑。

当然，作为进一步的探求，你或许会好奇于这里的 k，也就是 2*i - j 的具体含义，自行探索。

当然，作为 KMP 算法的有机组成部分，我们也不要忘了 next 表的构造过程。然而，正如我们已经看到的，这个预处理算法的原理及过程与主算法完全相同，因此其复杂度也应该线性正比于它自己的输入规模，也就是模式串的长度 O(m)。