2.数列极限

2.4 收敛准则

上节课举了一个例子$a_N=1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+...+\frac{1}{n^p}$

• $p>1$， { a n } \{a_{n}\} {an​}收敛
• $0<p\le 1$， { a n } \{a_{n}\} {an​}发散

特别地$p=1,a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$是正无穷大量


【例2.4.8】$b_n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln n$，证明 { b n } \{b_{n}\} {bn​}收敛。
【证】$(1+\frac{1}{n}{)}^n<e<(1+\frac{1}{n}{)}^{n+1}$（上节课推过的，$e$分别是左边的上确界和右边的下确界）
右侧不等式取对数得$1<(n+1)\ln \frac{1+n}{n}$
即$\frac{1}{n+1}<\ln \frac{1+n}{n}$
左侧不等式取对数得$n\ln \frac{1+n}{n}<1$
即$\ln \frac{1+n}{n}<\frac{1}{n}$
所以$\frac{1}{n+1}<\ln \frac{1+n}{n}<\frac{1}{n}$
$b_{n+1}-b_n=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}<0$
则 { b n } \{b_{n}\} {bn​}是严格单调减少数列
$b_n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln n>\ln \frac{1+1}{1}+\ln \frac{2+1}{2}+...+\frac{n+1}{n}-\ln n=\ln 2+\ln 3-\ln 2+...+\ln (n+1)-\ln n-\ln n=\ln (n+1)-\ln n=\ln \frac{n+1}{n}>\frac{1}{n+1}>0$
所以 { b n } \{b_{n}\} {bn​}严格单调减少有下界
由单调有界定理，所以 { b n } \{b_{n}\} {bn​}收敛。
记$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\gamma$，称为Euler（欧拉）常数
$\gamma \approx \mathrm{0.577215...}$
【注】这两个无穷大量相差一个欧拉常数。

【例2.4.9】证明$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})=\ln 2$
【证】$b_n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln n,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\gamma$
$b_{2n}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n})-\ln 2n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+n})-\ln 2n$
$b_{2n}-b_n=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})+\ln n-\ln 2n=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})+\ln \frac{n}{2n}=(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})-\ln 2$
由于$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_{2n}-b_n)=0$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }((\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})-\ln 2)=0$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...\frac{n}{n+n})=\ln 2$


【例2.4.10】$d_n=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$，说明 { d n } \{d_{n}\} {dn​}是否收敛，若收敛，收敛于什么？
【解】$b_n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n})-\ln n,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\gamma$
$b_{2n}=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n})-\ln 2n=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n+n})-\ln 2n,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_{2n}=\gamma$

用$b_{2n}$中的第$2k$项与$b_n$中的第$k$项相减
$b_{2n}-b_n=(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n})-\ln 2=d_{2n}-\ln 2$
由于$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_{2n}-b_n)=0$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }(d_{2n}-\ln 2)=0$
即$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_{2n}=\ln 2$
$d_{2n+1}=d_{2n}+(-1{)}^{2n+1+1}\frac{1}{2n+1}=d_{2n}+\frac{1}{2n+1}$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_{2n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }(d_{2n}+\frac{1}{2n+1})=\ln 2$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n=\ln 2$（偶数子列和奇数子列收敛于同一个数，则原数列是收敛于这个数）

2.4.4 闭区间套定理

【定义2.4.1】闭区间套是指一列闭区间$\{[a_n,b_n]\}$满足：
（1）$[a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_n,b_n],n=1,2,3,...$
（2）$b_n-a_n\to 0(n\to \infty )$（区间长度趋于0）
则称这样一列闭区间$\{[a_n,b_n\}$是一个闭区间套。
【定理2.4.2】【闭区间套定理】若$\{[a_n,b_n\}$是一个闭区间套，则存在唯一的实数$\xi$属于一切闭区间$[a_n,b_n]$，且$\xi =\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n$
【证】$a_1\le a_{n-1}\le a_n<b_n\le b_{n-1}\le b_1$（区间是一个套一个的）

所以 { a n } \{a_{n}\} {an​}单调增加，且有上界$b_1$， { b n } \{b_{n}\} {bn​}单调减少，且有下界$a_1$，由单调有界定理， { a n } \{a_{n}\} {an​}与 { b n } \{b_{n}\} {bn​}均收敛
设$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi ,\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }[a_n+(b_n-a_n)]$
根据闭区间套的定义$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=0$
所以$\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }[a_n+(b_n-a_n)]=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\xi$
所以$\xi$是 { x n } \{x_{n}\} {xn​}的上确界，是 { b n } \{b_{n}\} {bn​}的下确界
$a_n\le \xi \le b_n$，即$\xi$属于一切闭区间$[a_n,b_n]$
若${\xi }^{\prime }\in [a_n,b_n],n=1,2,3,...$
由$a_n\le {\xi }^{\prime }\le b_n$
由于$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=\xi$
由数列极限的夹逼性定理可知
${\xi }^{\prime }=\xi$，所以$\xi$唯一
证毕


【定理2.4.3】实数集$\mathbb{R}$不可列。
【证】用反证法，假设实数集$\mathbb{R}$可列，即可以找到一种排列的规则使得 R = { x 1 , x 2 , x 3 , . . . , x n , . . . } \mathbb{R}=\{x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n},...\} R={x1​,x2​,x3​,...,xn​,...}
取$[a_1,b_1]$使得$x_1\notin [a_1,b_1]$，将$[a_1,b_1]$分成$[a_1,\frac{2a_1+b_1}{3}],[\frac{2a_1+b_1}{3},\frac{a_1+2b_1}{3}],[\frac{a_1+2b_1}{3},b_1]$，其中必有一个区间都包含$x_2$，取它为$[a_2,b_2]$，$x_2\notin [a_2,b_2]$，将$[a_2,b_2]$分成三分$[a_2,\frac{2a_2+b_2}{3}],[\frac{2a_2+b_2}{3},\frac{a_2+2b_2}{3}],[\frac{a_2+2b_2}{3},b_2]$，其中必有一个区间不包含$x_3$，取它为$[a_3,b_3]$，$x_3\notin [a_3,b_3]$
将此过程一直做下去，得到一个闭区间套$\{[a_n,b_n]\}$，满足$x_n\notin [a_n,b_n]$，由闭区间套定理，必存在$\xi$属于一切$[a_n,b_n]$，于是$\forall n,\xi \ne x_n,n=1,2,3,...$
这与假设矛盾
所以实数集$\mathbb{R}$不可列。
【注】分成三分是为了用闭区间，如果分成两份，那么闭区间会有重合点，如果那个数刚好是重合点，那么就不存在一个不包含$x_n$的区间，后面会有问题。