二叉树查询性能分析：
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索在二叉搜索树树平均查找长度是结点的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多
如图：
下面就是对二叉搜索树的改进AVL树
目录：
一.AVL树的概念
二.AVL树的实现
三.AVL树的验证
四.AVL树的删除（了解）
五.AVL树的性能分析
一. AVL树的概念:
1. 二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺 序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年 发明了一种 解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1(需要对树中的结点旋转)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长
2. 这个我们要定义一个平衡因子，平衡因子 = 右树高度 - 左树高度。
3. 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 搜索时间复杂 度(Log2^N)。
二 AVL树的实现：
1. 为了AVL树实现简单，AVL树节点在定义时维护一个平衡因子，具体节点定义如下：
public class AVLTree { static class TreeNode{ public int val; public int bf;//平衡因子 public TreeNode left; public TreeNode right; public TreeNode parent;//父亲节点的引用 public TreeNode(int val) { this.val = val; } } public TreeNode root;
2.AVL树的插入：
2.1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2.2. 调整节点的平衡因子
根据平衡因子可以分为几种情况：
情况一：Parent的平衡因子为 0，已经平衡无需调整；
情况二：Parent的平衡因子为 1,-1，继续向上调整；
情况三：Parent的平衡因子为 2，cur的平衡因子为1 ,左单旋（同号）
情况四：Parent的平衡因子为 2，cur的平衡因子为-1 ，右左双旋（异号）
情况五：Parent的平衡因子为 -2，cur的平衡因子为-1 , 右单旋（同号）
情况六：Parent的平衡因子为 -2，cur的平衡因子为 1 , 左右双旋（异号）
代码：
//插入： public boolean insert(int val) { TreeNode node = new TreeNode(val); if(root == null){ root = node; return true; } TreeNode cur = root; TreeNode parent = null; while (cur != null){ if(cur.val < val){ parent = cur; cur = cur.right; }else if(cur.val > val){ parent = cur; cur = cur.left; }else { return false; } } if(parent.val < val){ parent.right = node; }else{ parent.left = node; } node.parent = parent; cur = node;//指向新插入的节点 //修改平衡因子 while (parent != null) { //先看cur在parent的左边还是右边 if (cur == parent.right) { //如果在右边就++ parent.bf++; } else { //如果在左边就-- parent.bf--; } //检查当前的平衡因子是不是0，1，-1 if (parent.bf == 0) { //已经平衡了 break; } else if (parent.bf == 1 || parent.bf == -1) { //继续向上修改平衡因子 cur = parent; parent = cur.parent; } else { if(parent.bf == 2){//右树高-》降低右數高度 if(cur.bf == 1){ //左单旋 rotateLeft(parent); }else { //cur.bf == -1 //右左双旋： rotateRL(parent); } }else { //parent.bf == -2//左树高-》降低左树高度 if(cur.bf == -1){ //右单旋 rotateRight(parent); }else { //cur.bf == 1 //左右双旋： rotateLR(parent); } } //已经平衡 break; } } return true; }
3.AVL树的旋转：
3.1. 新节点插入较高左子树的左侧---右单旋 ：
Parent的平衡因子为 -2，cur的平衡因子为-1 , 右单旋（同号）
图解：
代码：
/** * 右单旋 * @param parent */ private void rotateRight(TreeNode parent){ TreeNode subL = parent.left; TreeNode subRL = subL.right; parent.left = subRL; subL.right = parent; //如果旋转的整棵树也是一个子树，记录下原来该树的父亲，后续修改 TreeNode pParent = parent.parent; if (subRL != null) { subRL.parent = parent; } parent.parent = subL; //看看整棵树是否也是一个子树 if(parent == root){ subL = root; root.parent = null; }else { //是子树就确定这棵树是左子树还是右子树 if(pParent.left == parent){ pParent.left = subL; }else { pParent.right = subL; } } subL.parent = pParent; //修改平衡因子 subL.bf = 0; parent.bf = 0; }
3.2. 新节点插入较高右子树的右侧---左单旋：
Parent的平衡因子为 2，cur的平衡因子为1 ,左单旋（同号）
图解：
代码：
/** * 左单旋 * @param parent */ private void rotateLeft(TreeNode parent) { TreeNode subR = parent.right; TreeNode subRL = subR.left; parent.right = subRL; subR.left = parent; TreeNode pParent = parent.parent; if(subRL != null){ subRL.parent = parent; } parent.parent = subR; //看看整棵树是否也是一个子树 if(parent == root){ subR = root; root.parent = null; }else { //是子树就确定这棵树是左子树还是右子树 if(pParent.left == parent){ pParent.left = subR; }else { pParent.right = subR; } } subR.parent = pParent; parent.bf = 0; subR.bf = 0; }
3.3. Parent的平衡因子为 -2，cur的平衡因子为 1 , 左右双旋（异号）：
图解：subLR的平衡因子区分情况
情况一：subLR平衡因子等于-1
情况二：subLR平衡因子等于1
代码：
/** *左右双旋： * @param parent */ private void rotateLR(TreeNode parent) { TreeNode subL = parent.left; TreeNode subLR = subL.right; int bf = subLR.bf; rotateLeft(parent.left); rotateRight(parent); //双旋时subLR的值-1,1，会有2种插入方式 if(bf == -1){ subL.bf = 0; subLR.bf = 0; parent.bf = 1; }else if(bf == 1){ subL.bf = -1; subLR.bf = 0; parent.bf = 0; } }
4. Parent的平衡因子为 2，cur的平衡因子为-1 ，右左双旋（异号）：
图解：
情况一：subRL平衡因子等于1
情况二：subRL平衡因子等于-1
代码：
/** *右左双旋： * @param parent */ private void rotateRL(TreeNode parent) { TreeNode subR = parent.right; TreeNode subRL = subR.left; int bf = subRL.bf; rotateRight(parent.right); rotateLeft(parent); //双旋时subRL的值-1,1，会有2种插入方式 if(bf == 1){ parent.bf = -1; subRL.bf = 0; subR.bf = 0; }else if(bf == -1){ parent.bf = 0; subRL.bf = 0; subR.bf = 1; } }
三.AVL树的验证:
分两步:
1. 验证其为二叉搜索树:
代码：
//中序遍历： public void inorder(TreeNode root){ if(root == null){ return; } inorder(root.left); System.out.println(root.val); inorder(root.right); } //求高度 private int height(TreeNode root){ if(root == null){ return 0; } int leftH = height(root.left); int rightH = height(root.right); return Math.max(leftH,rightH) + 1; }2. 验证其为平衡树:
//判断树是否为平衡二叉树 public boolean isBalanced(TreeNode root){ if (root == null) return true; int leftH = height(root.left); int rightH = height(root.right); /**检查这棵树平衡因子是否本身就出错 * 因为要验证的这棵树的平衡因子，是我们自己定义的，防止出错。 */ if(rightH-leftH != root.bf){ System.out.println("这个节点" + root.val+ "平衡因子异常"); return false; } return Math.abs(leftH-rightH) < 2 && isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right); }
四.AVL树的删除（了解）:
1、找到需要删除的节点
2、按照搜索树的删除规则删除节点--参考Map和Set及哈希--的奥秘（详解）-CSDN博客中二叉搜索树的删除
3、更新平衡因子，如果出现了不平衡，进行旋转。--单旋，双旋
五.AVL树性能分析:
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询 时高效的时间复杂度，即 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要 维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要 一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修 改，就不太适合
