论文：六自由度机械臂轨迹规划研究，马强
机器人一些关于数学基础的知识，简单的说一下：
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向量
在机器人中，向量的含义并不是算算数那样子，而是在空间的本质含义。
向量叉乘：a×b = |a|*|b|*sin（theta）
应用：确定坐标系，比如在空间中有3个点，可以根据这3个点确定这个坐标系。
构建坐标系，得到单位方向向量，确定向量方向，比如，我知道了一个向量模长，知道了法向量，那么我就知道了这个向量在3维空间中的具体位姿。
注意：这个在做几何运动学分析时，常用，比如坐标系的建立，坐标系的转换等等。主要是坐标系建立，确定关节位置。
向量点乘：a·b = |a|*|b|*cos（theta）
应用：求角度，利用cos的公式进行求解向量之间的角度。
求投影长度，向量点乘可以表示为一个向量对于坐标系的xyz的坐标，比如，一个向量从原点出发，任意方向进行延长，但是知道这个向量对于xyz的角度，那么就可以知道向量的终点的坐标。
还有左右定则，右：大拇指是z轴方向，四指往里窝的方向是x->y的方向。
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刚体位姿描述，位姿包括：位置+姿态（方位）
位置：
用一个简要的语言来说，在三维空间中关于基坐标系（大地坐标系）的xyz矢量，也称位置矢量，用3*1矩阵来表示为：
姿态（方位）：
简单来说，三维空间中为了确定点P在B坐标系下的准确位置所提出来的，也就是说点P在A坐标系下的位置可以准确的确定，如何确定在B坐标系下的准确位置？用坐标系【B】的三个单位矢量x，y，z相当于坐标系【A】的方向余弦组成的3*3矩阵。
ARB被称为旋转矩阵，换一话说是B坐标系相对于A坐标系的旋转，这里运用到实物上可能会有一些混淆。B相对于A：换一句人说是，从A怎么到达B的。比如A坐标是通过绕x轴旋转90度到达B的，也就是ARB，还需要注意的一定是：
左乘-相对坐标系（相对就是上面的解释）与右乘-固定坐标系（比如就靠基（大地）坐标系），注意乘法的顺序。ARB * P 与 P*ARB 在机器人学中代表着不同的含义。
单位矢量：模长为1的矢量，单位矢量的方向是确定的，与原始矢量的方向一致。
方向余弦：方向余弦是指一个向量与坐标轴正方向之间夹角的余弦值，比如：坐标系【B】的x轴对于坐标系【A】轴的xyz的方向，均可以利用余弦的方式进行表示。但是后面出来的绕x轴的旋转矩阵不是说方向余弦呢，怎么出来了sin函数呢，这里我们需要注意的一点是cos和sin可以互换的，比如：cos150 = -sin30。也就能理解为什么会出现sin的函数了。
之后这个R矩阵是一个正交矩阵，虽然有9个元素，但是通过正交矩阵的性质（6个约束条件），就剩3个是独立的。
位姿：
点p在坐标系【A】的位置+姿态，已知是p在B坐标系的xyz坐标。
注意一点，也可以进行拆开，即：
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坐标变换 ：平移，旋转，复合
平移：
某一点p在B坐标系是已知的，B相对于A的位置矢量是已知的APB，那么点p在A坐标系的位置矢量为：
旋转：
某一点p在B坐标系是已知的，B相对于A的位置矢量是已知的ARB，那么点p在A坐标系的方向矢量为：
复合变换：
也就是平移加旋转
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串联的DH参数，正逆解
这一部分，网上资源很多，这里不详细展开，我贴上当初学习的笔记。
需要注意的一点是：改进和标准DH参数，本质上就是坐标系的建立不同。还有一个就是
像这种都是一个杆一个杆迭代上去的，并不是一步到位的。 书上的通用坐标系变换并不是这个，这个是比如坐标系2相对与坐标系1，只有一个。
正解：
逆解：
逆解有多种方式，根据需要进行使用，比如几何法，代数法，数值法等等。书中的例子很多，《机器人导论》等书籍。
流程：
驱动空间：电机运行的弧度/角度（0-360）（电机是旋转的，一般来说不超过一周运行）
注：程序中使用的是弧度制，并非角度制。1弧度约等于57.3度。
关节空间：通过计算让电机运行多少角度的集合，在关节坐标系中。
操作空间：在笛卡尔坐标系（大地，基座标）下的，运动位置（末端点的位姿）
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雅可比矩阵
是一种映射关系，比如末端执行器（手爪）和各个关节执行器运行弧度/角度（电机）他们之间线速度和角速度关系，用矩阵J来表示。资源很多，不细说了。
以上是对机器人动力学知识之前的总结，接下来回到此篇论文，本篇论文的重点是其轨迹规划思路
