图形几何算法 -- 判断两条线段是否相交

news2024/11/15 15:46:40

线段相交检测是计算几何中的一个基本问题，广泛应用于计算机图形学、游戏开发、物理模拟等领域。我们可以通过以下步骤和理论来判断两条线段是否相交。

概念

在二维平面上，给定两条线段 A(P1, P2) 和 B(Q1, Q2)，我们需要判断这两条线段是否相交。线段相交可以分为两种情况：

相交：线段在某一点相交。
重合：线段在某段上重合。

算法理论

我们可以通过计算线段的方向和相对位置来判断它们是否相交。关键步骤如下：

方向测试：
- 计算点 P1, P2, Q1, Q2 之间的方向。可以使用叉乘（cross product）来判断方向。
- 如果两个线段的端点在对方的两侧，它们为相交。
共线和重合检测：
- 如果线段共线，需要检查它们的投影是否重叠。

算法流程

以下是具体的算法流程：

定义一个 Point 结构体来表示坐标。
定义一个方法来计算方向（使用叉乘）。
定义一个方法来判断两条线段是否相交。
在判断时，首先基于方向确定相交情况，然后再处理共线情况。

using System;  

public class Point  
{  
    public double X { get; set; }  
    public double Y { get; set; }  

    public Point(double x, double y)  
    {  
        X = x;  
        Y = y;  
    }  
}  

public class LineSegment  
{  
    public Point P1 { get; set; }  
    public Point P2 { get; set; }  

    public LineSegment(Point p1, Point p2)  
    {  
        P1 = p1;  
        P2 = p2;  
    }  

    // 计算叉乘 (P2 - P1) x (Q - P1)  
    private double CrossProduct(Point p1, Point p2, Point p3)  
    {  
        return (p2.X - p1.X) * (p3.Y - p1.Y) - (p2.Y - p1.Y) * (p3.X - p1.X);  
    }  

    // 检查线段AB和CD是否相交  
    public bool Intersects(LineSegment other)  
    {  
        Point a = this.P1, b = this.P2;  
        Point c = other.P1, d = other.P2;  

        // 计算叉乘  
        double d1 = CrossProduct(a, b, c);  
        double d2 = CrossProduct(a, b, d);  
        double d3 = CrossProduct(c, d, a);  
        double d4 = CrossProduct(c, d, b);  

        // 线段相交情况  
        if (d1 * d2 < 0 && d3 * d4 < 0)  
            return true;  

        // 共线且重合的情况  
        if (d1 == 0 && IsPointOnSegment(a, c, d)) return true;  
        if (d2 == 0 && IsPointOnSegment(b, c, d)) return true;  
        if (d3 == 0 && IsPointOnSegment(c, a, b)) return true;  
        if (d4 == 0 && IsPointOnSegment(d, a, b)) return true;  

        return false;  
    }  

    // 检查点是否在范围内  
    private bool IsPointOnSegment(Point p, Point q1, Point q2)  
    {  
        return Math.Min(q1.X, q2.X) <= p.X && p.X <= Math.Max(q1.X, q2.X) &&  
               Math.Min(q1.Y, q2.Y) <= p.Y && p.Y <= Math.Max(q1.Y, q2.Y);  
    }  
}  

// 示例用法  
public static class Program  
{  
    public static void Main()  
    {  
        LineSegment line1 = new LineSegment(new Point(1, 1), new Point(4, 4));  
        LineSegment line2 = new LineSegment(new Point(1, 4), new Point(4, 1));  

        Console.WriteLine(line1.Intersects(line2) ? "Line segments intersect." : "Line segments do not intersect.");  
    }  
}