背包问题【算法 07】

背包问题

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背包问题是经典的计算机科学问题之一，涉及到如何在有限资源的约束下，选择最优的物品组合，以最大化收益。这个问题在现实中有广泛的应用，例如资源分配、物流调度和投资组合优化等。本文将详细介绍背包问题的定义、解决方法、常见变种，以及通过C语言的实现来帮助理解。

1. 背包问题简介

背包问题最早由丹麦数学家 Knuth 提出，其核心思想是：在一组物品中，每个物品都有一定的价值和重量，在背包的容量有限的前提下，选择哪些物品可以使得背包内物品的总价值最大化。

1.1 问题定义

背包问题可以表述为：给定 n 个物品，每个物品 i 有一个重量 w_i 和价值 v_i，在背包最大承重量 W 限制下，如何选择物品，使得装入背包的物品总重量不超过 W，且总价值最大。

公式化的定义如下：

物品集合：{1, 2, ..., n}
每个物品的重量：w_i
每个物品的价值：v_i
背包的容量：W

目标：在满足背包容量的前提下，最大化价值和：

$\text{max} \sum_{i=1}^n v_i x_i$
其中，x_i 表示第 i 个物品是否被选中，x_i = 1 表示选择，x_i = 0 表示不选择。

1.2 背包问题的类型

背包问题有多个变种，常见的类型包括：

0-1 背包问题：每个物品要么选择（1），要么不选择（0）。
完全背包问题：每个物品可以被选择多次。
分数背包问题：可以选择物品的一部分。

2. 0-1 背包问题

最经典的背包问题是 0-1 背包问题，即每个物品只能被选一次。此问题的解法包括动态规划（DP）和回溯法等。

2.1 动态规划解法

动态规划是一种自底向上的解决问题的方式，它可以有效地解决背包问题，避免暴力搜索带来的指数级时间复杂度。基本思想是构建一个二维数组 dp[i][w]，表示前 i 个物品中能够装入重量为 w 的背包的最大价值。

2.1.1 状态转移方程

设 dp[i][w] 表示前 i 个物品能够放入容量为 w 的背包中的最大价值，则状态转移方程为：

$\begin{cases} dp[i-1][w], & w < w_i \\ \max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-w_i] + v_i), & w \geq w_i \end{cases}$
该方程表示如果当前物品 i 的重量超过背包剩余容量，则不能选择该物品；否则，我们可以选择不放入该物品或者放入该物品，取两者中的最大值。

2.2 动态规划算法实现

以下是 0-1 背包问题的 C 语言实现：

#include <stdio.h>

// 定义最大物品数量和最大背包容量
#define MAX_ITEMS 100
#define MAX_WEIGHT 1000

// 动态规划求解0-1背包问题
int knapsack(int n, int W, int weights[], int values[]) {
    int dp[MAX_ITEMS+1][MAX_WEIGHT+1] = {0};

    // 遍历每个物品
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int w = W; w >= weights[i-1]; w--) {
            dp[i][w] = dp[i-1][w];
            if (w >= weights[i-1]) {
                dp[i][w] = (dp[i-1][w] > dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1]) ? dp[i-1][w] : (dp[i-1][w - weights[i-1]] + values[i-1]);
            }
        }
    }

    return dp[n][W];
}

int main() {
    int n = 5;  // 物品数量
    int W = 10; // 背包容量
    int weights[] = {2, 2, 6, 5, 4};  // 每个物品的重量
    int values[] = {6, 3, 5, 4, 6};   // 每个物品的价值

    int maxValue = knapsack(n, W, weights, values);
    printf("背包可以装入的最大价值为: %d\n", maxValue);

    return 0;
}

2.3 案例分析

假设有5个物品，重量分别为 {2, 2, 6, 5, 4}，价值分别为 {6, 3, 5, 4, 6}，背包容量为 10。

通过动态规划方法，得到的最大价值为 15。这是通过选择第 1、第 2 和第 5 个物品实现的，它们的总重量为 2+2+4=8，总价值为 6+3+6=15。

3. 完全背包问题

在完全背包问题中，每个物品可以选择多次。这与 0-1 背包问题的区别在于，状态转移方程发生了变化，因而求解方法也有所不同。

3.1 状态转移方程

对于完全背包问题，状态转移方程为：

$dp[i][w] = \max(dp[i-1][w], dp[i][w-w_i] + v_i)$
与 0-1 背包不同，选择当前物品时，需要考虑放入多次的情况。

3.2 完全背包问题的C语言实现

#include <stdio.h>

int knapsack_complete(int n, int W, int weights[], int values[]) {
    int dp[MAX_WEIGHT+1] = {0};

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int w = weights[i]; w <= W; w++) {
            dp[w] = (dp[w] > dp[w - weights[i]] + values[i]) ? dp[w] : dp[w - weights[i]] + values[i];
        }
    }

    return dp[W];
}

int main() {
    int n = 5;
    int W = 10;
    int weights[] = {2, 2, 6, 5, 4};
    int values[] = {6, 3, 5, 4, 6};

    int maxValue = knapsack_complete(n, W, weights, values);
    printf("完全背包可以装入的最大价值为: %d\n", maxValue);

    return 0;
}

3.3 案例分析

在同样的物品和背包容量情况下，完全背包的最大价值是 18，因为在完全背包中，可以选择物品 1 和 5 多次，从而获得更高的价值。

4. 分数背包问题

分数背包问题允许将物品分割开来，也就是说可以选择物品的一部分。通常使用贪心算法解决该问题，依据单位重量的价值（价值/重量）对物品进行排序，然后依次选择单位价值最高的物品直到背包满为止。

4.1 分数背包问题的案例分析

在分数背包问题中，物品可以被部分选择，这与 0-1 背包和完全背包不同。例如，假设有以下 3 个物品：

物品 1：重量 10，价值 60
物品 2：重量 20，价值 100
物品 3：重量 30，价值 120

背包的容量为 50。我们可以计算每个物品的单位重量价值，即 value/weight 比率：

物品 1：60/10 = 6
物品 2：100/20 = 5
物品 3：120/30 = 4

根据贪心算法的思想，应该优先选择单位价值最高的物品。具体过程如下：

选择物品 1（单位价值最高，6），将其全部放入背包。此时，背包剩余容量为 50 - 10 = 40，价值为 60。
选择物品 2（单位价值次高，5），将其全部放入背包。此时，背包剩余容量为 40 - 20 = 20，价值增加为 60 + 100 = 160。
选择物品 3（单位价值最低，4），但此时背包只剩下 20 的空间，因此只能选择物品 3 的一部分，价值为 120 * (20/30) = 80。

因此，最终的最大价值为 60 + 100 + 80 = 240。

4.2 分数背包问题的 C 语言实现

以下是分数背包问题的 C 语言实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

typedef struct {
    int weight;
    int value;
    double ratio;
} Item;

// 比较函数，用于根据单位价值对物品排序
int cmp(const void* a, const void* b) {
    return ((Item*)b)->ratio > ((Item*)a)->ratio ? 1 : -1;
}

// 贪心算法解决分数背包问题
double fractional_knapsack(int n, int W, Item items[]) {
    // 根据单位价值排序
    qsort(items, n, sizeof(Item), cmp);
    double maxValue = 0.0;

    // 贪心地选择物品
    for (int i = 0; i < n && W > 0; i++) {
        if (W >= items[i].weight) {
            W -= items[i].weight;
            maxValue += items[i].value;
        } else {
            maxValue += items[i].value * ((double)W / items[i].weight);
            W = 0;
        }
    }

    return maxValue;
}

int main() {
    int n = 3;  // 物品数量
    int W = 50; // 背包容量

    Item items[] = {
        {10, 60, 6.0},
        {20, 100, 5.0},
        {30, 120, 4.0}
    };

    double maxValue = fractional_knapsack(n, W, items);
    printf("分数背包可以获得的最大价值为: %.2f\n", maxValue);

    return 0;
}

4.3 分析与总结

通过贪心算法，我们可以有效解决分数背包问题。该算法的时间复杂度主要由排序决定，为 O(n log n)，而解决过程为 O(n)。与动态规划相比，贪心算法的效率更高，但它只能用于分数背包问题，不能用于 0-1 背包问题。

5. 不同背包问题的比较

问题类型	可选物品	算法类型	时间复杂度	备注
0-1 背包问题	每个物品只能选择一次	动态规划	`O(nW)`	经典问题
完全背包问题	每个物品可以选择多次	动态规划	`O(nW)`	物品可多次选择
分数背包问题	物品可以部分选择	贪心算法	`O(n log n)`	需要排序