文章目录
- 1. 松弛变量：用于“≤”不等式约束
- 数学表达式
- 2. 剩余变量：用于“≥”不等式约束
- 数学表达式
- 3. 目标函数中的松弛变量
- 数学表达式
- 4. Gurobi中的实现
- 对于“≤”不等式的松弛变量：
- 对于“≥”不等式的剩余变量：
- 5. 总结
- 在Gurobi中，松弛变量（Slack Variables）和剩余变量（Surplus Variables）广泛用于将不等式约束转换为等式约束，或者在目标函数中调整问题的可行性与最优性。例如，在线性规划（LP）中，某些求解方法（如单纯形法）要求所有的约束条件都是等式，此时可以通过引入松弛变量将不等式约束转换为等式。==
- 单纯性法数学原理和思想可以参考【运筹学】单纯形法总结 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 单纯形表 | 计算检验数 | 最优解判定 | 入基变量 | 出基变量 | 方程组同解变换 ) ★★★
- 对于标准线性规划问题，具体数学表达和变换情况可以参考【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) ★★
1. 松弛变量：用于“≤”不等式约束
将“≤”类型的约束转换为等式约束，此时，松弛变量 s 表示约束的剩余“空间”，即在达到等式 b 时，当前的变量组合还差多少。
数学表达式
假设有一个不等式约束：
a
1
x
1
+
a
2
x
2
≤
b
a_1x_1 + a_2x_2 \leq b
a1x1+a2x2≤b
可以引入一个松弛变量
s
≥
0
s \geq 0
s≥0，使其转换为等式：
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
s
=
b
a_1x_1 + a_2x_2 + s = b
a1x1+a2x2+s=b
2. 剩余变量：用于“≥”不等式约束
剩余变量类似于松弛变量，但用于将“≥”类型的约束转换为等式约束。剩余变量表示的是超过所需量的部分。
数学表达式
假设有一个不等式约束：
a
1
x
1
+
a
2
x
2
≥
b
a_1x_1 + a_2x_2 \geq b
a1x1+a2x2≥b
可以引入一个剩余变量
s
≥
0
s \geq 0
s≥0，将其转换为等式：
a
1
x
1
+
a
2
x
2
−
s
=
b
a_1x_1 + a_2x_2 - s = b
a1x1+a2x2−s=b
这里，剩余变量
s
s
s 表示超过要求的量。
3. 目标函数中的松弛变量
在某些优化问题中，可能会允许某些约束条件被“违反”，但需要引入惩罚措施。这时，松弛变量可以用于表示这种违约程度，并将其加入到目标函数中。
数学表达式
假设我们允许约束
a
1
x
1
+
a
2
x
2
≤
b
a_1x_1 + a_2x_2 \leq b
a1x1+a2x2≤b 被“违反”，可以引入一个松弛变量
s
≥
0
s \geq 0
s≥0：
a
1
x
1
+
a
2
x
2
+
s
=
b
a_1x_1 + a_2x_2 + s = b
a1x1+a2x2+s=b
然后将松弛变量
s
s
s 的惩罚项加入到目标函数中。例如，目标是最小化总成本：
Minimize
Z
=
c
1
x
1
+
c
2
x
2
+
p
⋅
s
\text{Minimize } Z = c_1x_1 + c_2x_2 + p \cdot s
Minimize Z=c1x1+c2x2+p⋅s
其中，
p
p
p 是松弛变量的惩罚系数，表示违反约束的代价。当问题的解空间非常紧张，或者为了确保可行解的存在时，我们可以允许约束条件的适度放松。此时通过目标函数中的惩罚项来权衡违约程度与最优解的关系。
4. Gurobi中的实现
无论是松弛变量还是剩余变量，它们在Gurobi中的实现方式是类似的。以下是具体的代码示例：
对于“≤”不等式的松弛变量：
from gurobipy import Model, GRB
# 创建模型
m = Model()
# 添加变量
x1 = m.addVar(name="x1")
x2 = m.addVar(name="x2")
s = m.addVar(name="slack", lb=0) # 松弛变量
# 添加约束：a1*x1 + a2*x2 <= b => a1*x1 + a2*x2 + s = b
m.addConstr(2*x1 + 3*x2 + s == 10)
# 设置目标函数
m.setObjective(x1 + 2*x2 + 1000*s, GRB.MINIMIZE)
# 求解
m.optimize()
# 输出结果
for v in m.getVars():
print('%s %g' % (v.varName, v.x))
print('Obj: %g' % m.objVal)
这段Gurobi代码表示一个线性优化问题。将其对应的数学表达式写为一个标准的线性规划问题。该数学问题可以总结为以下形式：
Minimize
Z
=
x
1
+
2
x
2
+
1000
s
Subject to
2
x
1
+
3
x
2
+
s
=
10
x
1
≥
0
,
x
2
≥
0
,
s
≥
0
\begin{align*} \text{Minimize } & \quad Z = x_1 + 2x_2 + 1000s \\ \text{Subject to } & \quad 2x_1 + 3x_2 + s = 10 \\ & \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad s \geq 0 \end{align*}
Minimize Subject to Z=x1+2x2+1000s2x1+3x2+s=10x1≥0,x2≥0,s≥0
其中，
x
1
x_1
x1、
x
2
x_2
x2是决策变量，(s) 是松弛变量。决策变量 (x_1) 和 (x_2) 也默认是非负的（在Gurobi中默认情况下变量是非负的）， (s) 是松弛变量，它必须是非负的。在这个问题中，松弛变量 (s) 用来将原本的“≤”约束转换为等式，同时它在目标函数中具有较大的惩罚系数 (1000)，表明我们希望尽量减少 (s) 的值。
对于“≥”不等式的剩余变量：
from gurobipy import Model, GRB
# 创建模型
m = Model()
# 添加变量
x1 = m.addVar(name="x1")
x2 = m.addVar(name="x2")
s = m.addVar(name="surplus", lb=0) # 剩余变量
# 添加约束：a1*x1 + a2*x2 >= b => a1*x1 + a2*x2 - s = b
m.addConstr(2*x1 + 3*x2 - s == 10)
# 设置目标函数
m.setObjective(x1 + 2*x2 + 1000*s, GRB.MINIMIZE)
# 求解
m.optimize()
# 输出结果
for v in m.getVars():
print('%s %g' % (v.varName, v.x))
print('Obj: %g' % m.objVal)
Gurobi代码表示了一个线性优化问题，使用了剩余变量（Surplus Variable）来处理“≥”类型的不等式约束。我们可以将其对应的数学表达式写为一个标准的线性规划问题。该数学问题可以总结为以下形式：
Minimize
Z
=
x
1
+
2
x
2
+
1000
s
Subject to
2
x
1
+
3
x
2
−
s
=
10
x
1
≥
0
,
x
2
≥
0
,
s
≥
0
\begin{align*} \text{Minimize } & \quad Z = x_1 + 2x_2 + 1000s \\ \text{Subject to } & \quad 2x_1 + 3x_2 - s = 10 \\ & \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad s \geq 0 \end{align*}
Minimize Subject to Z=x1+2x2+1000s2x1+3x2−s=10x1≥0,x2≥0,s≥0
其中， x 1 x_1 x1、 x 2 x_2 x2是决策变量，(s) 是松弛变量。决策变量 (x_1) 和 (x_2) 也默认是非负的（在Gurobi中默认情况下变量是非负的）， (s) 是松弛变量，它必须是非负的。 在约束条件中，松弛变量用于将“≤”约束转换为等式，剩余变量用于将“≥”约束转换为等式。在这个问题中，剩余变量 (s) 用来将原本的“≥”约束转换为等式。同时，(s) 在目标函数中具有较大的惩罚系数 (1000)，表明我们希望尽量减少 (s) 的值，即希望尽可能满足或超过原本的“≥”约束。在目标函数中，某些优化问题中，可能会允许某些约束条件被“违反”，但需要引入惩罚措施。这时，松弛变量可以用于表示这种违约程度，并将其加入到目标函数中。
5. 总结
- 在约束条件中，松弛变量用于将“≤”约束转换为等式，剩余变量用于将“≥”约束转换为等式。
- 在目标函数中，可能会允许某些约束条件被“违反”，需要引入惩罚措施。这时，松弛变量可以用于表示这种违约程度。
