代码随想录算法训练营第二十二天| 回溯算法理论基础 77. 组合 216.组合总和III 17.电话号码的字母组合

news2025/1/22 13:00:06

一、回溯算法理论基础

回溯法：回溯法是一种将问题遍历的结构抽象为树形结构，在解空间树种采取深度优先策略，系统地搜索问题的所有解。

简单地来说，回溯法是一种在解空间树内暴力搜索的算法。可通过限界函数进行剪枝来提升算法效率。

回溯法在问题没有更优解法的时候，适用于求解答案是向量的问题，如搜索问题、排序问题、优化问题等。

回溯法的搜索空间是由问题的解构成的解空间树，常见的类型有：子集树、排列树、搜索树。

二、LeetCode 77. 组合

题目链接：LeetCode 77. 组合

文章讲解：代码随想录
视频讲解：带你学透回溯算法-组合问题（对应力扣题目：77.组合）| 回溯法精讲！

思路

一招鲜，吃遍天。组合问题是回溯法的经典题目，也可以作为所有回溯法（子集树）的一个代码模板来写。

要求在 $1\sim n$ 中取出所有可能的组合，涉及到我们每一步选择哪个数加入组合的问题。在每一步（每一层）选择每个可能的数（遍历孩子结点）就可以抽象为一个子集树的遍历过程，于是可以使用回溯算法进行遍历求解。
在这里插入图片描述
在回溯过程中，重要的部分在于如何表述每一层中选择不同孩子的逻辑，以及遍历子集树时进入下一层遍历的传参问题。如上图，在本问题中，我们将当前位置选择哪一个数作为不同的孩子结点，那么我们可以写一个for循环来完成不同孩子结点之间的遍历，用递归实现进入下一层：

for(int i = pre + 1; i <= n; i++){  //递归构建子集树
    set[t] = i;
    backtrack(t+1, i, n, k, set);
}

set使用全局变量的话可以这样写：

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归：控制树的纵向遍历，注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
}

这样更为规范，可读性也更好一些。

终止条件设置为set中元素数量等于k即可。

在上述代码的基础上，可以做一定的剪枝提高时间效率：我们可以发现，在前一位数选择了n-(k-set.size())+1时，即前面数选择以后，后面的数不够分，达不到k个的数目，那么这些分支实际上都是无效遍历；也就是说，在组合中，每一位上选择的数是有一个右边界的，我们通过找规律不难发现，这个右边界就是n-(k-set.size())+1。
在这里插入图片描述
那么遍历代码可以优化为：

for (int i = startIndex; i <= n - (k - set.size()) + 1; i++) // i为本次搜索的起始位置

C++代码

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> subsets;

    void backtrack(int t, int pre, int n, int k, vector<int> set){
        if(t == k){
            subsets.push_back(set);
            return;
        } 
        for(int i = pre + 1; i <= n-(k-t)+1; i++){  //递归构建子集树
            set[t] = i;
            backtrack(t+1, i, n, k, set);
        }
    }

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        vector<int> set(k);
        backtrack(0, 0, n, k, set);
        return subsets;
    }
};

二、LeetCode 216.组合总和III

题目链接：LeetCode 216.组合总和III

文章讲解：代码随想录
视频讲解：和组合问题有啥区别？回溯算法如何剪枝？| LeetCode：216.组合总和III

思路

本题与上题较为相似，不同之处只在于使用数字变为一到九，并增加一个总和条件。我们只调节可选取的数字，并增加一个总和相等的终止条件即可。

C++代码

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> sumsets;
    vector<int> set;

    void backtrack(int pre, int sum, int k, int n){
        if(sum > n) return; //剪枝操作：总和大于要求值返回
        if(set.size() == k){ //终止条件
            if(sum == n){
                sumsets.push_back(set);
            }
            return;
        }
        for(int i = pre + 1; i <= 9-(k-set.size())+1; i++){ //数字选取1--9
            set.push_back(i);
            sum += i;
            backtrack(i, sum, k, n);
            sum -= i;
            set.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combinationSum3(int k, int n) {
        backtrack(0, 0, k, n);
        return sumsets;
    }
};

二、LeetCode 17.电话号码的字母组合

题目链接：LeetCode 17.电话号码的字母组合

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视频讲解：还得用回溯算法！| LeetCode：17.电话号码的字母组合

思路

本题也是很简单的组合问题，主要解决的点在于电话号码上字母的映射，可以选择建立一个全局变量数组存储每个数字对应的字母，笔者采用 $A SC II$ 码转换的方法进行映射。其余操作与基本的回溯法相同。

C++代码

class Solution {
private:
    vector<string> combinations;
    string letters;

    void backtrack(string digits, int index){
        if(index == digits.size()){
            combinations.push_back(letters);
            return;
        }

        int del = 3;
        int be;

        if(digits[index] > '1' && digits[index] < '7'){
            be = 43 + int(digits[index]-'0') * 2;
        }
        else if(digits[index] == '7'){
            be = 57;
            del = 4;
        }
        else if(digits[index] == '8'){
            be = 60;
        }
        else if(digits[index] == '9'){
            be = 62;
            del = 4;
        } 

        for(int i = be; i < be+del; i++){
            letters.push_back(digits[index] + i);
            backtrack(digits, index+1);
            letters.pop_back();
        }
    }
public:
    vector<string> letterCombinations(string digits) {
        if(digits.empty()) return combinations;
        backtrack(digits, 0);
        return combinations;
    }
};