最大容量问题的贪心解法

问题描述

给定一个数组ht，其中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。我们可以通过任意两个隔板以及它们之间的空间来组成一个容器。容器的容量等于高度和宽度的乘积，其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。我们的任务是选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大。

问题分析

容器由任意两个隔板围成，因此本题的状态为两个隔板的索引，记为[i,j]。
根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的数组索引之差。设容量为cap[i,j]
，则可得计算公式：cap[i,j]=min(ht[i],ht[j])*(j-j)
现选取一个状态[i,j]，其满足索引 i<j,且高度ht[i]<ht[j},即i为短板、j为长板。
若将长板向短板靠近，则容量一定变小。
这是因为在移动长板j后，宽度肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（仍为短板）或变小（移动后的成为短板）。
反向思考，我们只有向内收缩短板i，才有可能使容量变大。因为虽然宽度一定变小，但高度可能会变大（移动后的短板可能会变长）。
由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针，使其分列容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。

贪心策略

1. 初始化两个指针，分别指向数组的两端。
2. 计算当前状态的容量cap[i, j] = min(ht[i], ht[j]) * (j - i)，并更新最大容量。
3. 比较两个指针所指的隔板高度，将高度较小的隔板对应的指针向内移动一格。
4. 重复步骤2和3，直到两个指针相遇。

代码实现（C++）

以下是C++语言的实现代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int maxCapacity(vector<int>& ht) {
    int i = 0;
    int j = ht.size() - 1;
    int res = 0;
    while (i < j) {
        int cap = min(ht[i], ht[j]) * (j - i);
        res = max(res, cap);
        if (ht[i] < ht[j]) {
            i++;
        } else {
            j--;
        }
    }
    return res;
}

void test02() {
    vector<int> v = {3, 8, 5, 2, 7, 7, 3, 4};
    cout << maxCapacity(v) << endl;
}

图片来源hello算法

总结

通过贪心算法，我们能够有效地解决最大容量问题。这种方法简洁且高效，适用于多种类似的问题场景。

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C++学习资源

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