数据结构—— 初识二叉树

news2025/1/12 3:51:10

1.树概念及结构

1.1树的概念

树是由根和子树构成

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的

1. 树有一个特殊的结点，称为根结点，根结点就是第一个节点

2. 除根结点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个子节点

3. 树是递归定义的

4.在树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树

1.2 树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度：如上图：A的为6（A B C D E F G）

重要部分：


* 叶节点或终端节点：子节点为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

* 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等结点为分支节点

* 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

* 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子节点

* 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

了解一下：

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6（A B C D E F G）

结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

堂兄弟结点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林（并查集，文件系统）

1.3 树的表示方法

树结构存储表示起来比较麻烦，既然保存值域，也要保存结点和结点之间

这里使用 "左孩子右兄弟 "表示法（子节点和兄弟节点）

也就是说不管有多少个孩子，每个节点只指向第一个孩子

1.A指向子节点B，A没有兄弟节点，指向空 

2.B指向子节点D，B指向兄弟节点C，C没有兄弟节点，指向空 

3.D没有子节点，D指向兄弟节点E，E指向兄弟节点F，F没有兄弟节点,指向空

4.E指向子节点H，H指向兄弟节点I，I没有兄弟节点，指向空 


struct TreeNode
{
    int val;

    struct Node* leftchild;
    struct Node* rightBrother;

};

2.二叉树概念及结构


2.1概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

                                                1. 或者为空

                                                2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成 

                                                3. 二叉树不存在度大于2的结点

                                                4.二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树


                                          

2.2 特殊的二叉树：

1. 满二叉树：每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树

也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k - 1)，则它就是满二叉树

 

 2. 完全二叉树：前h-1层都是满的，最后一层不是满的，最后一层从左到右必须是连续的，如果不是连续的那么就不是完全二叉树

连续的：

不连续的： 

 满二叉树是一种特殊的完全二叉树，但是完全二叉树不是满二叉树

2.3 满二叉树和完全二叉树的位置计算

假设父节点在数组中的下标为i，那么：

                                                        1.左孩子在数组中的下标为：2*i+1 

                                                        2.右孩子在数组中的下标为：2*i+2

假设孩子在数组中的下标为i，那么：

                                                        父在数组中的下标为：（i - 1）/ 2

在这里不区分左孩子和右孩子，因为除以会向下取整

3. 堆的概念及结构

3.1 

1. 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值

2. 堆在逻辑上是一棵完全二叉树，物理上就是数组

3. 堆分为小堆和大堆

大堆：a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 > = 儿子

特点：根是最小

        

小堆： a. 完全二叉树

           b. 任何一个父亲 < = 儿子

特点：根是最大

3.2 堆的实现

Heap.h

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>


typedef int HPDataType;

typedef struct Heap
{
	HPDataType* a;
	int size;
	int capacity;
}HP;



//堆的初始化
void HPInit(HP* php);

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php);

//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);

//堆的删除
void HPPop(HP* php);

// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php);

//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php);


void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);


void AdjustUp(HPDataType* a, int child);


void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

Heap.c分解分析

堆的初始化

//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

堆的销毁

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

堆的插入 

//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//判断内存是否满
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	//插入数据
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//插入数据之后需要向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

堆的插入逻辑交换图表（向上调整）

堆的插入数据之后是否向上调整

//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	//孩子/2找到父节点
	int parent = (child - 1) / 2;
	//孩子大于0就进入/继续
	while (child > 0)
	{
		//如果孩子小于父亲
		if (a[child] < a[parent])
		{
			
			Swap(&a[child], &a[parent]);//交换
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

堆的交换

//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

堆的删除：一般是删除根

思路：排序删除：交换根和最后一个子节点的位置，再删除根，之后再进行向下调整算法（向下调整的前提是左右子树都是大小堆），然后根据左右子树的大小选择小的那个进行调整

//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	//交换下标为0的根和末尾数据的位置
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;//删除
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

堆的向下调整

思路：先假设左孩子小，然后找出小的那个孩子，再判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 

                                          向下调整的前提是左右子树都是大小堆                                                

//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	// 先假设左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;

	// child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
	while (child < n) 
	{
		// 找出小的那个孩子
		//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}

	//if (a[child] > a[parent]) 大堆
	//孩子小于父亲
	if (a[child] < a[parent])//小堆
	{
		//交换
		Swap(&a[child], &a[parent]);
		parent = child;//赋予
		//继续算左孩子
		child = parent * 2 + 1;
	}
	else
	{
		break;
	}
}

取堆顶的数据

// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

堆的判空

//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

Heap.c全部代码

#include"Heap.h"

//堆的初始化
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//堆的销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	free(php->a);
	php->a = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//堆的插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//判断内存是否满
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc fail");
			return;
		}

		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	//插入数据
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//插入数据之后需要向上调整
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

//堆的插入数据之后是否向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
	//孩子/2找到父节点
	int parent = (child - 1) / 2;
	//孩子大于0就进入/继续
	while (child > 0)
	{
		//如果孩子小于父亲
		if (a[child] < a[parent])
		{
			
			Swap(&a[child], &a[parent]);//交换
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//堆的交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
	HPDataType tmp = *p1;
	*p1 = *p2;
	*p2 = tmp;
}

//堆的删除
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);
	//交换下标为0的根和末尾数据的位置
	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
	php->size--;//删除
	//向下调整
	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

//堆的向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
	// 先假设左孩子小
	int child = parent * 2 + 1;

	// child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
	while (child < n) 
	{
		// 找出小的那个孩子
		//判断右孩子是否小于n并且右孩子小于左孩子 
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			++child;
		}


		//if (a[child] > a[parent]) 大堆
		//孩子小于父亲
		if (a[child] < a[parent])//小堆
		{
			//交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;//赋予
			//继续算左孩子
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 取堆顶的数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size > 0);

	return php->a[0];
}

//堆的判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);

	return php->size == 0;
}

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