情况分析与解决思路

在gurobi求解数学优化问题时，标准的约束形式通常是大于等于（ >=）或小于等于（<=）。如果遇到严格的大于（>）或小于（<）约束，我们可以通过一些技巧将其转化为符合Gurobi接受的形式，或者通过引入小的松弛项来处理。

数学模型

严格不等式约束

假设我们有如下的优化问题：

• 目标函数：
  $$\text{max }2x+3y$$

• 约束条件：
  $$x>4$$
  $$y<10$$
  $$x+y\le 15$$

转化后的约束形式

将约束条件 $x>4$ 和 $y<10$ 转化为 Gurobi 支持的形式。我们引入一个极小的正数 $ϵ$（如 $ϵ=10^{-6}$），得到以下约束：

• 目标函数：
  $$\text{max }2x+3y$$

• 约束条件：
  $$x\ge 4+ϵ$$
  $$y\le 10-ϵ$$
  $$x+y\le 15$$

带入具体的 $ϵ$ 值

假设 $ϵ=10^{-6}$，则模型变为：

• 目标函数：
  $$\text{max }2x+3y$$

• 约束条件：
  $$x\ge 4.000001$$
  $$y\le 9.999999$$
  $$x+y\le 15$$

python代码

import gurobipy as gp  
from gurobipy import GRB  

# 创建模型  
model = gp.Model("strict_constraints_example")  

# 添加变量  
x = model.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name="x")  
y = model.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name="y")  

# 设定一个极小的松弛量 epsilon  
epsilon = 1e-6  

# 设置目标函数：2x + 3y  
model.setObjective(2 * x + 3 * y, GRB.MAXIMIZE)

# 添加约束条件
model.addConstr(x >= 4 + epsilon, "c1")  # 对应x > 4的约束
model.addConstr(y <= 10 - epsilon, "c2")  # 对应y < 10的约束
model.addConstr(x + y <= 15, "c3")  # x + y ≤ 15的约束

# 求解模型
model.optimize()

# 获取并输出结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print(f"Optimal value of x: {x.x}")
    print(f"Optimal value of y: {y.x}")
    print(f"Optimal value of the objective: {model.objVal}")
else:
    print("Optimal solution not found")

解析

1. 变量定义：我们定义了两个连续变量 ( x ) 和 ( y )。
2. 松弛量：使用一个极小的正数 ( \epsilon ) 来转化原本的严格不等式为松弛后的标准不等式。
3. 约束添加：将 ( x > 4 ) 转化为 ( x \geq 4 + \epsilon )，将 ( y < 10 ) 转化为 ( y \leq 10 - \epsilon )。
4. 目标函数：设置为最大化 ( 2x + 3y )。
5. 求解：通过 model.optimize() 方法求解该优化问题。

总结

通过引入极小的松弛量 $ϵ$，可以将严格的大于或小于约束转化为 Gurobi 支持的形式，并保持原问题的逻辑结构不变。