平衡点与相直线

给定一个微分方程
$$\frac{dy}{dt}=f(t,y),$$
我们可以通过绘制斜率场和勾勒图形来大致了解解的行为，或者使用欧拉法计算近似解。有时我们甚至可以推导出解的显式公式并绘制结果。所有这些技术都需要相当多的工作，无论是数值上的（计算斜率或欧拉法）还是解析上的（积分）。
在本节中，我们考虑右侧不依赖于 $t$ 的微分方程。这类方程被称为自治微分方程。自治的意思是“自我管理的”，粗略地说，自治系统是自我管理的，因为它是根据完全由因变量的值决定的微分方程来演变的。对于自治微分方程，有一些定性技术可以帮助我们以较少的算术操作勾勒解的图形，而比其他方法更简便。

自治方程

自治方程是形式为
$$\frac{dy}{dt}=f(y)$$
的微分方程。换句话说，因变量的变化率可以仅仅表示为因变量自身的函数。自治方程作为模型出现频繁，有两个原因。首先，许多物理系统在任何时间点的行为都是相同的。例如，早上10点和下午3点，压缩相同量的弹簧提供的力是相同的。其次，对于许多系统，时间依赖性在所考虑的时间尺度上“平均化”了。例如，如果我们研究狼和田鼠的相互作用，我们可能会发现狼在白天吃的田鼠比晚上多。然而，如果我们对狼和鼠的种群在几年或几十年内的行为感兴趣，那么我们可以将每周每只狼吃掉的鼠的数量进行平均，忽略每日的波动。

我们已经注意到，自治方程的斜率场具有特殊的形式（见第40页，第1.3节）。因为方程的右侧不依赖于 $t$，所以斜率标记在 $t$-$y$ 平面上的水平线上是平行的。也就是说，对于自治方程，两个 $y$ 坐标相同但 $t$ 坐标不同的点具有相同的斜率标记（见图1.51）。
图 1.51 自治微分方程$\frac{dy}{dt}=(y-2)(y+1)$的斜率场。斜率在水平线上是平行的。
注意到斜率场表明存在两个平衡解，即 $y_1(t)=-1$ 对于所有 $t$ 和 $y_2(t)=2$ 对于所有 $t$。此外，初始值在 $-1$ 和 $2$ 之间的解是递减的，并且在所有时间内都是定义良好的。

因此，自治方程的斜率场中存在大量冗余。如果我们知道在单一垂直线 $t=t_0$ 上的斜率场，那么我们就知道整个 $t$-$y$ 平面上的斜率场。因此，我们应该能够只绘制一条包含相同信息的线。这条线称为自治方程的相位线。

绳索的比喻

假设你得到一个自治微分方程
$$\frac{dy}{dt}=f(y).$$
想象一根垂直悬挂的绳索，向上无限延伸，向下无限延伸。因变量 $y$ 表示绳索上的一个位置（绳索是 $y$ 轴）。函数 $f(y)$ 给出绳索上每个位置的一个数值。假设这个数值 $f(y)$ 实际上被印在绳索的高度 $y$ 上。例如，在高度 $y=2.17$ 处，绳索上印有 $f(2.17)$ 的值。

假设你在时间 $t=0$ 时被放置在高度 $y_0$ 的绳索上，并被给予以下指示：读取绳索上印刷的数字，并以与该数字相等的速度沿绳索上升或下降。如果数字是正数，则沿绳索上升；如果数字是负数，则沿绳索下降。（大的正数意味着你会很快上升，而接近零的负数意味着你会缓慢下降。）在移动时，继续读取绳索上的数字，并调整你的速度，以便它始终与绳索上印刷的数字一致。

如果你按照这个相当奇怪的指示进行，你将生成一个函数 $y(t)$，它给出你在时间 $t$ 时的位置。你的初始位置在 $t=0$ 时是 $y(0)=y_0$，因为你最初是放置在这个位置的。你在时间 $t$ 时的运动速度 $\frac{dy}{dt}$ 由绳索上的数字给出，因此对于所有 $t$，都有 $\frac{dy}{dt}=f(y(t))$。因此，你的位置函数 $y(t)$ 是初值问题
$$\frac{dy}{dt}=f(y),y(0)=y_0$$
的解。

相位线是这根绳索的图示。由于记录所有速度的数值是繁琐的，我们仅在速度为零的地方标记相位线，并在区间中指示速度的符号。相位线提供了解的定性信息。

逻辑方程的相位线

考虑微分方程
$$\frac{dy}{dt}=(1-y)y.$$
这个微分方程的右侧是 $f(y)=(1-y)y$。在这种情况下，$f(y)=0$ 正好当 $y=0$ 和 $y=1$ 时成立。因此，常数函数 $y_1(t)=0$ 对于所有 $t$ 和 $y_2(t)=1$ 对于所有 $t$ 是这个方程的平衡解。我们称 $y=0$ 和 $y=1$ 在 $y$ 轴上的点为平衡点。还要注意，如果 $0<y<1$，则 $f(y)$ 为正；如果 $y<0$ 或 $y>1$，则 $f(y)$ 为负。我们可以通过在平衡点 $y=0$ 和 $y=1$ 处放置点来绘制相位线（或“绳索”）。对于 $0<y<1$，我们放置指向上的箭头，因为 $f(y)>0$ 意味着你会向上爬；而对于 $y<0$ 或 $y>1$，我们放置指向下的箭头，因为 $f(y)<0$ 意味着你会向下爬（见图1.52）。

如果我们将相位线与斜率场进行比较，我们会发现相位线包含了关于平衡解的所有信息，以及解是递增还是递减。关于解的增减速度的信息会丢失（见图1.53）。但仅使用相位线，我们仍然可以给出解的图形的粗略草图。这些草图虽然不如斜率场的草图准确，但它们将包含关于解在 $t$ 较大时的行为的所有信息（见图1.54）。

如何绘制相位线

我们可以通过给出绘制相位线所需的步骤来更准确地定义相位线。对于自治方程 $\frac{dy}{dt}=f(y)$，步骤如下：

• 绘制 $y$ 轴线。
• 找到平衡点（即 $f(y)=0$ 的点），并在直线上标记它们。
• 找到 $f(y)>0$ 的 $y$ 值区间，并在这些区间中画出指向上的箭头。
• 找到 $f(y)<0$ 的 $y$ 值区间，并在这些区间中画出指向下的箭头。

我们在图1.55中勾画了几个相位线的示例。在查看相位线时，你应该记住绳索的比喻，并“动态”地思考微分方程的解——想象随着时间的推移，人们在绳索上向上或向下攀爬。

如何利用相位线来勾画解的图形

我们可以直接从相位线中获得解图形的粗略草图，但前提是我们在解读这些草图时要小心。相位线在预测解的极限行为（即当 $t$ 增大或减小时的行为）方面非常有效。

考虑方程
$$\frac{dw}{dt}=(2-w)\sin w.$$
这个微分方程的相位线如图1.56所示。注意到平衡点是 $w=2$ 和 $w=k\pi$（其中 $k$ 为任意整数）。假设我们想要勾画初值为 $w(0)=0.4$ 的解 $w(t)$ 的图形。因为 $w=0$ 和 $w=2$ 是这个方程的平衡点，并且 $0<0.4<2$，根据存在性和唯一性定理，我们知道 $0<w(t)<2$ 对于所有 $t$ 都成立。此外，因为在 $0<w<2$ 区间内 $(2-w)\sin w>0$，所以解始终在增加。由于当 $(2-w)\sin w$ 接近零时解的速度较小，并且这种情况只发生在平衡点附近，我们知道解 $w(t)$ 会随着 $t\to \infty$ 增加到 $w=2$（见第1.5节）。

类似地，如果我们将时间倒退，解 $w(t)$ 会减少。它始终保持在 $w=0$ 之上，且不能停下，因为