java编程 斐波拉契数列算法集锦【斐波拉契数列】【Fibonacci sequence】

news2024/11/13 11:28:48

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，是一个非常经典的递归问题。
斐波那契数列，这是一个广为人知的概念，在数学上定义为这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……即数列的第一项为0，第二项为1，除了前两项数值以外，任意一项数值都是前两项数值的和。这个数列在自然科学的各个领域都有广泛的应用，如计算机科学、生物学、经济学等。
在这里插入图片描述
斐波那契数列是一个经典的数学问题，这个数列的神奇之处，在于它能够以惊人的方式反映自然界的许多现象。
在这里插入图片描述

用数学语言表达，斐波那契数列(F(n))可以通过递归公式定义：(F(0)=0, F(1)=1), 对于(n > 1), 有(F(n) = F(n-1) + F(n-2))。
斐波那契数列，通过Java实现可以帮助我们深入理解其原理和应用。在实际应用中，我们应根据具体情况选择合适的实现方式，以达到最优的效果。

在Java中，我们可以有很多种实现方法，效率也各不相同。如使用递归或迭代的方式来实现斐波那契数列等等。

下面，我将演绎各种各样的五花八门的斐波那契数列实现算法。

  1. 算法1： 首先给出一个斐波那契数列的递归算法版本

斐波那契数列递归公式： f(n) = f(n-1) + f(n-2)
斐波那契数列递归终结点：f(0)=0，f(1)=1；当n=2时，f(2) = f(1) + f(0) = 1
斐波那契数列的递归方向：n -> 2 （n ≥ 2，n ∈ N*）

在这里插入图片描述

Java实现的算法源码如下：

package fibonacci;
/***
 * @author QiuGen
 * @description  斐波那契数列的递归算法
 * @date 2024/8/18
 * ***/
import java.util.Map;
import java.util.TreeMap;
public class FibonacciA {
	/***斐波那契数列的递归算法，效率低下，每次递归重复计算较小的值***/
	public static long fib( int n) { 
		if (n==0) return 0;
		if (n==1) return 1;
		return fib(n-1) + fib(n-2);
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		System.out.println("***效率低下的递归算法***");
		Map<Integer,Long> map = new TreeMap<>();
		for (int i = 0; i < 20; i++) {
			map.put(i, fib(i));
		}
		map.forEach((k,v)->System.out.println(v));
	}
}

这个递归算法最直观最简明，但非常耗时，非常耗计算机资源，如计算第六项数值时fib(5)的计算过程如下：

fib(5)
fib(4) + fib(3)
(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
由此可见，这个算法在计算后面的项时需要多次重复计算前面所有的项，因此不是一种高效的算法。实际上，该算法的运算时间是呈指数级增长的；而且对计算机的内存资源也是呈指数级增长的，很容易导致计算机资源不足。
复杂度： 时间复杂度是0(n^2),空间复杂度是0(n);
程序运行结果（斐波那契数列前20项的值）：
在这里插入图片描述

  1. 算法2： 斐波那契数列的优化后的递归算法版本。
    斐波那契数列的优化后的递归算法版本。
    斐波那契数列递归公式： f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    斐波那契数列的递归终结点： 自f(0)=0，f(1)=1，递归计算至f(n)。
    斐波那契数列的递归方向：0 -> n （n ≥ 0，n ∈ N*）

这个递归算法不是很简明，有点不太好理解。算法源代码如下：

package fibonacci;
/***
 * @author QiuGen
 * @description  斐波那契数列的优化的递归算法FibonacciB
 * @date 2024/8/18
 * ***/
public class FibonacciB {
	static long getFibItem(int index)
	{
		return getFibItem(0, 1, 0, index);
	}

	static long getFibItem(long curr, long next, int currIndex, int index)
	{
		if (currIndex == index)
		{
			return curr;
		}
		else
		{
			return getFibItem(next, curr + next, currIndex + 1, index);
		}
	}

	public static void main(String[] args) {
		for (int i = 0; i < 20; i++) { //计算前20项
			System.out.println(getFibItem(i));
		}
	}
}
  1. 算法3： 斐波那契数列的优化后的尾递归算法版本。
    斐波那契数列的优化后的尾递归算法版本。
    斐波那契数列递归公式： f(n) = f(n-1) + f(n-2)
    斐波那契数列的递归终结点： 自f(0)=0 或 f(1)=1。
    斐波那契数列的递归方向：n -> 1 （n ≥ 0，n ∈ N*）

这个尾递归算法的效率比较高。
空间复杂度： 递归的深度为0(n)，但是由于是尾递归，优化后的空间复杂度是0(1)
时间复杂度： 时间复杂度是0(n)

package fibonacci;
/***
 * @author QiuGen
 * @description 斐波那契数列的尾递归算法FibonacciC
 * @date 2024/8/18
 * ***/
public class FibonacciC {
    public static long fib(int index) {
        return fib(0,1,index);
    }
 
    public static long fib( long n1,long n2,int index) {
        if(index == 0) {
            return n1;
        }
        if(index == 1) {
            return n2;
        }
        return fib(n2,n1+n2,index - 1);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
		for (int i = 0; i < 20; i++) { //计算前20项
			System.out.println(fib(i));
		}
	}
}
  1. 算法4： 借助一个数组列表ArrayList，前两项是0和1，从n=2项起，每一项是之前两项之和。实际上也是一种迭代算法。
    用Java实现斐波那契数列，最容易想到的方式，是用一个数组列表ArrayList，首两项是0和1，从n=2项起，每一项是之前两项之和，循环依次赋值。这个算法的效率还是可以的。
package fibonacci;
/***
 * @author QiuGen
 * @description  斐波那契数列的利用列表的算法
 * @date 2024/8/18
 * ***/
import java.util.ArrayList;
public class FibonacciList {
	static ArrayList<Long> list = new ArrayList<>();
	public static void fib( int n) { 
		list.add (list.get(n-1) + list.get(n-2) );
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		//赋前两项斐波那契数列的初值
		list.add(0L);
		list.add(1L);
		for (int i = 2; i < 20; i++) { //计算前20项
			fib(i); //计算第i项值
		}
		list.forEach(System.out::println);
	}
}
  1. 算法5： 借助一个数组列表ArrayList，另一种迭代算法版本。
    下面是利用数组列表和迭代算法的版本，效率更高一点。
package fibonacci;
/***
 * @author QiuGen
 * @description  斐波那契数列利用列表的迭代算法
 * @date 2024/8/18
 * ***/
import java.util.ArrayList;
public class FibonacciIterate {
	static ArrayList<Long> list = new ArrayList<>();
	//计算前n项
    public static void fibonacciIterate(int n) {  
        long a = 0L;  
        long b = 1L; 
        long c = 0L;
        for (int i = 0; i < n; i++) { 
        	if ( i == 0) {
        		list.add(a);
			} else if ( i == 1) {
            	list.add(b);
			}
            if (i < 2)   continue;
            c = a + b;  
            list.add(c);  
            a = b;  
            b = c;  
        }  
    } 
    
    public static void main(String[] args) {
    	//计算前20项
    	fibonacciIterate(20);//计算前20项
    	list.forEach(System.out::println);
	}
}
  1. 算法6： 斐波那契数列的利用矩阵乘法、快速幂的算法版本。

运算原理：
在这里插入图片描述
我们目测计算一下。上面第一个公式，相乘后可得等式左边是向量（Fn+1,Fn），右边也是一个向量（（Fn+Fn-1），Fn）。很明显是正确的，相等的，因为，相当于两个等式：Fn+1=（Fn+Fn-1）和Fn=Fn。
当n=1时，第二个公式，计算结果是 F2=1，F1=1。
当n=0时，第二个公式，矩阵的0次幂是等于单位矩阵，因此可得计算结果F1=1，F0 = 0。非常正确。

斐波那契数列的利用矩阵乘法、快速幂的算法版本的源代码如下：

//利用矩阵乘法、快速幂，计算斐波那契数列。
package fibonacci;
import java.math.BigInteger;
class FibonacciCalculator {
    static class FibonacciMatrixMultiple {
        public BigInteger a11;
        public BigInteger a12;
        public BigInteger a21;
        public BigInteger a22;

        public FibonacciMatrixMultiple(BigInteger p_a11, BigInteger p_a12,
                BigInteger p_a21, BigInteger p_a22) {
            this.a11 = p_a11;
            this.a12 = p_a12;
            this.a21 = p_a21;
            this.a22 = p_a22;
        }
    }

    public static FibonacciMatrixMultiple Multiply(
            FibonacciMatrixMultiple mat1, FibonacciMatrixMultiple mat2) {
        return new FibonacciMatrixMultiple(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add(
                mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a11.multiply(mat2.a12).add(
                mat1.a12.multiply(mat2.a22)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add(
                mat1.a22.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a12).add(
                mat1.a22.multiply(mat2.a22)));
    }

    static class FibonacciMatrix {
        public BigInteger a11;
        public BigInteger a21;

        public FibonacciMatrix(BigInteger p_a11, BigInteger p_a21) {
            this.a11 = p_a11;
            this.a21 = p_a21;
        }
    }

    public static FibonacciMatrix Multiply2(FibonacciMatrixMultiple mat1,
            FibonacciMatrix mat2) {
        return new FibonacciMatrix(mat1.a11.multiply(mat2.a11).add(
                mat1.a12.multiply(mat2.a21)), mat1.a21.multiply(mat2.a11).add(
                mat1.a22.multiply(mat2.a21)));
    }

    private static FibonacciMatrix getFibonacciMatrix(int n) {
        FibonacciMatrix resultMatrix = new FibonacciMatrix(
                BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1));
        FibonacciMatrixMultiple multiple = new FibonacciMatrixMultiple(
                BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(1),
                BigInteger.valueOf(1), BigInteger.valueOf(0));
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1)
                resultMatrix = Multiply2(multiple, resultMatrix);
            n >>= 1;
            if (n > 0)
                multiple = Multiply(multiple, multiple);
        }
        return resultMatrix;
    }

    public static BigInteger getFibonacci(int index) {
        if (index < 1)
            return BigInteger.valueOf(0);
        if (index == 1)
            return BigInteger.valueOf(1);
        return getFibonacciMatrix(index - 2).a11;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
		for (int i = 0; i < 20; i++) { //计算前20项
			System.out.println(getFibonacci(i));
		}
	}
}

利用矩阵乘法、快速幂的计算斐波那契数列效率是很高的。尤其当计算较大项（index大于65535）时，所花费的时间要比前面的方法花费的时间少至少一个数量级。

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