1.三角函数
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| 正弦 | sinx= b r \frac{b}{r} rb |
| 余弦 | cosx= a r \frac{a}{r} ra |
| 正切 | tanx= b a \frac{b}{a} ab |
| 余切 | cotx= a b \frac{a}{b} ba |
| 正割 | secx= r a \frac{r}{a} ar |
| 余割 | cotx= r b \frac{r}{b} br |
1.1用正弦，余弦函数表示正/余切，正/余割
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| 正切 | tanx= s i n x c o s x \displaystyle\frac{sinx}{cosx} cosxsinx |
| 余切 | cotx= 1 t a n x \displaystyle\frac{1}{tanx} tanx1= c o s x s i n x \displaystyle\frac{cosx}{sinx} sinxcosx |
| 正割 | secx= 1 c o s x \displaystyle\frac{1}{cosx} cosx1 |
| 余割 | cscx= 1 s i n x \displaystyle\frac{1}{sinx} sinx1 |
重要公式：
①
s
i
n
2
x
+
c
o
s
2
x
=
1
sin^2x + cos^2x = 1
sin2x+cos2x=1
对①式两边同时除以
c
o
s
2
x
cos^2x
cos2x可得：
②
t
a
n
2
x
+
1
=
s
e
c
2
x
tan^2x+1=sec^2x
tan2x+1=sec2x
对①式两边同时除以
s
i
n
2
x
sin^2x
sin2x可得：
③
c
o
t
2
x
+
1
=
c
s
c
2
x
cot^2x+1=csc^2x
cot2x+1=csc2x
1.2 两角和正弦公式，两角和余弦公式
两角和正弦公式
①sin(α+β) = sinα·cosβ+cosα·sinβ
②sin(α-β) = sinα·cosβ-cosα·sinβ
两角和余弦公式
③cos(α+β) = cosα·cosβ-sinα·sinβ
④cos(α-β) = cosα·cosβ＋sinα·sinβ
1.3倍角公式
sin2x=2sinx·cosx
sinx = 2sin
x
2
⋅
c
o
s
x
2
\frac{x}{2}·cos\frac{x}{2}
2x⋅cos2x
cos2x =
c
o
s
2
x
−
s
i
n
2
x
cos^2x-sin^2x
cos2x−sin2x
=
2
c
o
s
2
x
−
1
2cos^2x-1
2cos2x−1
=
1
−
2
s
i
n
2
x
1-2sin^2x
1−2sin2x
1.4降幂公式
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| ① | c o n 2 x con^2x con2x= 1 + c o s 2 x 2 \displaystyle\frac{1+cos2x}{2} 21+cos2x |
| ② | s i n 2 x sin^2x sin2x= 1 − c o s 2 x 2 \displaystyle\frac{1-cos2x}{2} 21−cos2x |
1.5诱导公式
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| ① | sin(π-x)= sinx |
| ② | sin(π+x)= -sinx |
| ③ | cos(π-x)= -cosx |
| ④ | cos(π+x)= -cosx |
| ⑤ | sinx= cos( π 2 \frac{π}{2} 2π-x) |
1.6和差化积
sinα+sinβ=？
重点转化思路是：令A=
α
+
β
2
\displaystyle\frac{α+β}{2}
2α+β, B=
α
−
β
2
\displaystyle\frac{α-β}{2}
2α−β
则α=
α
+
β
2
\displaystyle\frac{α+β}{2}
2α+β+
α
−
β
2
\displaystyle\frac{α-β}{2}
2α−β=A+B
β=
α
+
β
2
\displaystyle\frac{α+β}{2}
2α+β-
α
−
β
2
\displaystyle\frac{α-β}{2}
2α−β=A-B
所以：sinα+sinβ=sin(A+B)+sin(A-B)
=sinA·cosB+cosA·sinB+sinA·cosB-cosA·sinB=2sinA·cosB
将A,B带入：
sinα+sinβ = 2·sin
α
+
β
2
\displaystyle\frac{α+β}{2}
2α+β·cox
α
−
β
2
\displaystyle\frac{α-β}{2}
2α−β
同理：
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| ① | sinα+sinβ= 2·sin α + β 2 \displaystyle\frac{α+β}{2} 2α+β·cos α − β 2 \displaystyle\frac{α-β}{2} 2α−β |
| ② | sinα-sinβ= 2·cos α + β 2 \displaystyle\frac{α+β}{2} 2α+β·sin α − β 2 \displaystyle\frac{α-β}{2} 2α−β |
| ③ | cosα+cosβ=2·cos α + β 2 \displaystyle\frac{α+β}{2} 2α+β·cos α − β 2 \displaystyle\frac{α-β}{2} 2α−β |
| ④ | cosα-cosβ= -2·sin α + β 2 \displaystyle\frac{α+β}{2} 2α+β·sin α − β 2 \displaystyle\frac{α-β}{2} 2α−β |
1.7积化和差
sinα·cosβ=?
思路：①sin(α+β) = sinα·cosβ+cosα·sinβ
$nbsp;②sin(α-β) = sinα·cosβ-cosα·sinβ
将①+②：
sin(α+β)+sin(α-β) = 2sinα·cosβ
所以sinα·cosβ =
1
2
\frac{1}{2}
21·[sin(α+β)+sin(α-β)]
同理推出其他公式：
| 名称 | 表达式 |
|---|---|
| ① | sinα·sinβ= - 1 2 ⋅ [ c o s ( α + β ) − c o s ( α − β ) \displaystyle\frac{1}{2}·[cos(α+β)-cos(α-β) 21⋅[cos(α+β)−cos(α−β)] |
| ② | cosα·cosβ= 1 2 ⋅ [ c o s ( α + β ) + c o s ( α − β ) \displaystyle\frac{1}{2}·[cos(α+β)+cos(α-β) 21⋅[cos(α+β)+cos(α−β)] |
| ③ | sinα·cosβ = 1 2 ⋅ [ s i n ( α + β ) + s i n ( α − β ) \displaystyle\frac{1}{2}·[sin(α+β)+sin(α-β) 21⋅[sin(α+β)+sin(α−β)] |
| ④ | cosα·sinβ= 1 2 ⋅ [ s i n ( α + β ) − s i n ( α − β ) \displaystyle\frac{1}{2}·[sin(α+β)-sin(α-β) 21⋅[sin(α+β)−sin(α−β)] |
1.8三角函数值
| x | 0 | π 6 \displaystyle\frac{π}{6} 6π | π 4 \displaystyle\frac{π}{4} 4π | π 3 \displaystyle\frac{π}{3} 3π | π 2 \displaystyle\frac{π}{2} 2π |
|---|---|---|---|---|---|
| sinx | 0 | 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 | 2 2 \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} 22 | 3 2 \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} 23 | 1 |
| cosx | 1 | 3 2 \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} 23 | 2 2 \displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2} 22 | 1 2 \displaystyle\frac{1}{2} 21 | 0 |
| tanx | 0 | 3 3 \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3} 33 | 1 | 3 \sqrt{3} 3 | +∞ |
2.反三角函数
2.1 arcsinx
2.2 arccosx
2.3 arctanx
3.反函数
反函数的前提: 一一对应
求反函数的步骤：
①反解出x
②反函数的定义域就是原函数的值域
③反函数一般用
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)来表示
例1：y=2x+1，求其反函数?
解：x=
y
−
1
2
\frac{y-1}{2}
2y−1, 用x替代y, y替代x.
y=
x
−
1
2
\frac{x-1}{2}
2x−1， x∈R.
例2：y=
x
2
+
1
x^2+1
x2+1, x∈(-∞，0)，求其反函数?
解: x=±
y
−
1
\sqrt{y-1}
y−1，因为x x∈(-∞，0),
所以x=-
y
−
1
\sqrt{y-1}
y−1,
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=-
x
−
1
\sqrt{x-1}
x−1
定义域等于原函数的值域：y∈（1, +∞）
所以
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=-
x
−
1
\sqrt{x-1}
x−1，其
D
f
D_f
Df∈（1， +∞）
例3: y=2x+1, x∈[1, 2),求其反函数?
解: x=
y
−
1
2
\frac{y-1}{2}
2y−1,则
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=
x
−
1
2
\frac{x-1} {2}
2x−1
D
f
D_f
Df∈[3, 5).
f(x) = 2x+1, f − 1 ( x ) f^{-1}(x) f−1(x)= x − 1 2 \frac{x-1} {2} 2x−1
x=2 ==>f(x)=5 ==>
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=2 ==x
由上可得出结论：
f
−
1
[
f
(
x
)
]
f^{-1}[f(x)]
f−1[f(x)] = x 或
f
[
f
−
1
(
x
)
]
f[f^{-1}(x)]
f[f−1(x)] =x
通用结论：
f
−
1
[
f
(
△
)
]
f^{-1}[f(△)]
f−1[f(△)] = △
例4：y=3·arctanx, 求其反函数?
解：由式可得：arctanx=
y
3
\frac{y}{3}
3y
由
f
−
1
[
f
(
△
)
]
f^{-1}[f(△)]
f−1[f(△)] = △，
tan(arctanx)=x=tan
y
3
\frac{y}{3}
3y
∴x=tan
y
3
\frac{y}{3}
3y.
所以
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=tan
x
3
\frac{x}{3}
3x.
其
D
f
D_f
Df∈(-
3
π
2
\frac{3π}{2}
23π，
3
π
2
\frac{3π}{2}
23π）
例5：y=
1
2
x
+
1
\frac{1}{2^x+1}
2x+11, 求其反函数?
解：
2
x
+
1
2^x+1
2x+1=
1
y
\frac{1}{y}
y1, ：
2
x
2^x
2x=
1
y
\frac{1}{y}
y1-1
则x=
l
o
g
2
1
y
−
1
log_2^{\frac{1}{y}-1}
log2y1−1, 所以其反函数：
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x)=
l
o
g
2
1
x
−
1
log_2^{\frac{1}{x}-1}
log2x1−1
因为
2
x
2^x
2x>0,所以
2
x
2^x
2x+1>1， 所以0<
1
2
x
+
1
\frac{1}{2^x+1}
2x+11<1
所以其
D
f
D_f
Df∈(0, 1)
4.取整函数 [x] :取不超过x的最大整数
例如[1.5] = 1
[-1.2] = -2
结论：无论x是正数还是负数，都取x的左区间
