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一，定义：
1，有向无环图
2，拓朴排序
1，每个顶点出现且仅仅出现一次。
2，若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
二，DAG的性质
性质1. 从任意一个起点进行dfs，必不会陷入死循环。
性质2. 入度为0的点信息确定，删掉入度为0的点以及出边后，新的入度为0的点信息也唯一确定。
三，拓扑排序的遍历
四，例题
1，有向图的拓扑序列
使用图片理解拓扑排序（也是该图的模拟过程）
１，在不考虑边权的情况下 输入数据为：
由此建立邻接表。可得第一次入度为零的点为“１”“２” 将此两点入度
所以先将１指向的点和边删除，并将指向的点（３，４）的入度－１；得到下图
由于第一次入度为零的点还有“２”，将１删除后，点“２”还在队中，所以同上操作，得到图三
由上图得：点３的入度为零，所以按照操作将“３”入队，出队，删边，删除边指向的点的入读－１；
同上操作，此时删除点“４；则点“５”的入读＝０；
经过删除。得到点六，所以存在拓扑排序，该图为DAG
2，求最长路
五，最小生成树
１，定义：
２，基本性质
1. 生成树是一个连通子图，是给定图的一个子集，它连接了所有节点且没有环。（有环可以减少一条边）
2. 生成树形态不止一种，且含有图中全部n个顶点，以及包含图中n-1条边。
３，求解方法：
１、Kruskal 复杂度：ｎ（ｍｌｏｇｍ）
２、例题 详见下：编辑
代码：
一，定义：
1，有向无环图
如果有一个非有向无环图，且A点出发向B经C可回到A，形成一个环。将从C到A的边方向改为从A到C，则变成有向无环图。有向无环图的生成树个数等于入度非零的节点的入度积。（from baidu）
若一个有向图不存在环，则称为有向无环图【字面意思】这个东西就叫做DAG（Directed Acyclic Graph），
如图所示：
2，拓朴排序
在图论中，拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：
1，每个顶点出现且仅仅出现一次。
2，若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。
由拓朴排序的定义可知：只有DAG才有拓扑排序，其余没有拓扑排序一说。
二，DAG的性质
性质1. 从任意一个起点进行dfs，必不会陷入死循环。
性质2. 入度为0的点信息确定，删掉入度为0的点以及出边后，新的入度为0的点信息也唯一确定。
三，拓扑排序的遍历
在dij和spfa等算法中，任意点都会重复更新多次，所以会导致时间复杂度提高。在拓扑排序中，不是从起点（任意点）开始遍历，而是从入度为0的点开始遍历，这样该点就不会有其它点进行更新它。所以这样每个点和边都只会被遍历一次。
所以拓朴排序的时间复杂度为n(n+m).
拓扑排序的大致过程：
- 从 图中选择一个 入度为0的顶点并入度。
- 当该节点出队时，将该节点所指向边的节点入度-1如果新节点入度为零，则将新节点入度。
- 重复 1 和 2 直到当前图为空或当前图中不存在入度为零的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。当所有节点都入过队列，则当前图存在拓扑排序，则该图为DAG图。
四，例题
1，有向图的拓扑序列
题目：（要求详见图）
使用图片理解拓扑排序（也是该图的模拟过程）
１，在不考虑边权的情况下 输入数据为：
６ ７（点数，边数）
１ ３
１ ４
２ ５
４ ５
３ ６
５ ６
３ ４由此建立邻接表。可得第一次入度为零的点为“１”“２” 将此两点入度
所以先将１指向的点和边删除，并将指向的点（３，４）的入度－１；得到下图
由于第一次入度为零的点还有“２”，将１删除后，点“２”还在队中，所以同上操作，得到图三
由上图得：点３的入度为零，所以按照操作将“３”入队，出队，删边，删除边指向的点的入读－１；
同上操作，此时删除点“４；则点“５”的入读＝０；
经过删除。得到点六，所以存在拓扑排序，该图为DAG
在删除边的过程中，将出队但未被删除的点存入一个vector容器。最后将该容器按照顺序输出则得到了该图的拓扑排序。
如果该容器中存下的点的数量 不等于一开始输入的点的数量，则该图不存在拓扑排序，即该图不是DAG图。
#include<bits/stdc++.h>//万能头
#pragma GCC s//日常优化
#pragma GCC optimize(2)//相信肯定有人要借鉴代码，这可不是好习惯哦，所以注释++++++
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC fast
using namespace std;
const int N = 2e5 + 100;//提前定义节省时间
const int M = 4e5 + 100;
int head[N], Next[M], ver[M], tot,deg[N],n,m;
void add(int x, int y) {//建立邻接表
ver[++tot] = y;
Next[tot] = head[x];
head[x] = tot;
}
long long read() {//日常快读，节省时间
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
vector<int>v;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int> > qc;//因为题目要求按照字典序最小输出，所以建立优先队列
void topsort() {//拓朴排序
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!deg[i]) qc.push(i);
while (qc.size()) {
int x = qc.top(); qc.pop();
v.push_back(x);//在出队时进行记录
for (int i = head[x];i;i=Next[i]) {
int y=ver[i];
if (!--deg[y]) qc.push(y);
}
}
}
int main() {
int x, y;
n=read();m=read();//运用快读（点的个数，边的个数）
for (int i=1;i<=m;i++) {
x=read();y=read();//快读+2
add(x,y);
deg[y]++;//将被指向的结点入度加1
}
topsort();//开始排序
if (v.size()<n)//如果有的点没有被遍历过说明不存在拓扑排序，即不存在DAG
cout <<-1;
else {
for(int i=0;i<v.size();i++) cout<<v[i]<< " ";
}
return 0;
}2，求最长路
题目见图++；
题目分析：如果按照常规操作，这道题肯定要TLE，另外，数据范围也要注意（开小了PAC）所以，这道题只能快读＋拓扑排序才能过
#include<bits/stdc++.h>／／万能头文件
#pragma GCC s／／O优化
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC fast
using namespace std;
const int N=5e5+5,M=3e6+5;／／根据题目范围提前定义
int head[N], Next[M],ver[M],du[N],dis[M],w[M],tot,n,m;／／关于结点的范围是N，和边有关的大小为M；
long long read() {／／快读
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(!isdigit(c)) {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(isdigit(c)) {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
void add(int x, int y,int z) {／／建立邻接表
++tot;
ver[tot]=y;
w[tot]=z;
Next[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void bfs() {／／开始遍历
queue<int>q;
for (int i=1;i<=n;i++) {
if(!du[i])q.push(i);
dis[i]=-2e9;
}
dis[1]=0;
while (!q.empty()) {
int x=q.front();／／存下来要遍历的节点
q.pop();／／将该节点出队
for (int i = head[x];i;i=Next[i]) {
int y=ver[i];
du[y]--;
if(dis[x]!=-2e9){
dis[y]=max(dis[y],dis[x]+w[i]);
}
if(!du[y]) {
q.push(y);／／将节点入队，等待重新遍历
}
}
}
}
int main() {
int x,y,z;
n=read();／／使用快读
m=read();
for(int i=1;i<=m;i++) {
x=read();／／源节点
y=read();／／指向的节点
z=read();／／边权
add(x,y,z);
du[y]++;／／被指向的节点入度＋＋
}
bfs();
cout<<dis[n];／／输出最大路径
return 0;
}
五，最小生成树
１，定义：
最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是指在连通图的所有生成树中，各边的权值之和最小的生成树。它是一个连通的无向图，其中所有顶点都连通，且没有环，边的权值之和最小。生成树是在无向连通图中，将图中所有顶点以最少的边连通的子图。即建图转化为树，用最少的边保证每个节点的连通性。
２，基本性质
1. 生成树是一个连通子图，是给定图的一个子集，它连接了所有节点且没有环。（有环可以减少一条边）
2. 生成树形态不止一种，且含有图中全部n个顶点，以及包含图中n-1条边。
３，求解方法：
１、Kruskal 复杂度：ｎ（ｍｌｏｇｍ）
２、例题 详见下：
代码：
#include<bits/stdc++.h>／／万能头文件
#pragma GCC optimize(1)／／O优化
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma Gcc optinize("o1")
#pragma Gcc optinize("o2")
#pragma Gcc optinize("o3")
#pragma GCC optimize("Ofast")
using namespace std;
const int N =2e5+5;
int n,m,mst=0,fa[N]，cnt=0;／／记录长度之和
struct node{／／运用结构体来存边，按照边权大小进行排序
int u,v,w;
}pt[N];
long long read() {／／日常快读
int x=0,f=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {
if(c=='-') f=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9') {
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
return x*f;
}
bool operator<(node x,node y){／／重载一下运算符，方便进行结构体比较
return x.w<y.w;
}
int find(int x){
if(fa[x]==x)return x;
return fa[x]=find(fa[x]);
}
void kruscal(){
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++){
int a=find(pt[i].u), b=find(pt[i].v);
if(a!=b){
fa[a]=b;
mst+=pt[i].w;
cnt++;
}
if(cnt==n-1) break;
}
}
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++){
int x,y,z;
x=read();y=read();z=read();
pt[i]={x,y,z};
}
sort(pt+1,pt+m+1);
kruscal();
if(cnt<n-1) cout<<"orz";
else cout<<mst;
}
