具有实特征值的线性系统的相图
在前面的部分，我们看到直线解在求解某些线性微分方程系统的通解中起着主导作用。为了求解这样的系统，我们首先使用代数方法计算系数矩阵的特征值和特征向量。当我们找到一个实特征值和一个相关的特征向量时，就可以写出对应的直线解。此外，在特定情况下，当我们找到两个实数且不同的特征值时，我们可以写出系统通解的显式公式。
特征值的符号在确定相应直线解的行为方面发挥着重要作用。如果特征值是负的，解会随着 t → ∞ t \to \infty t→∞ 而趋向原点。如果特征值是正的，解会随着 t → ∞ t \to \infty t→∞ 而远离原点。在本节中，我们利用这些直线解的行为来确定所有解的行为。
鞍点（Saddles）
一种常见的线性系统具有一个正特征值和一个负特征值。例如，考虑线性系统
d Y d t = A Y , \frac{dY}{dt} = AY, dtdY=AY,
其中
A = ( − 3 0 0 2 ) . A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. A=(−3002).
这是一个特别简单的线性系统，因为它对应于以下方程：
d x d t = − 3 x \frac{dx}{dt} = -3x dtdx=−3x
d y d t = 2 y . \frac{dy}{dt} = 2y. dtdy=2y.
注意到 d x d t \frac{dx}{dt} dtdx 只依赖于 x x x，而 d y d t \frac{dy}{dt} dtdy 只依赖于 y y y。也就是说，系统完全解耦。我们可以使用第一章中的方法独立地求解这两个方程。然而，为了更全面地理解几何形状，我们使用前两节的方法。
像往常一样，我们首先通过找到特征多项式的根来计算 A A A 的特征值：
det ( A − λ I ) = det ( − 3 − λ 0 0 2 − λ ) = ( − 3 − λ ) ( 2 − λ ) = 0. \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} -3 - \lambda & 0 \\ 0 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (-3 - \lambda)(2 - \lambda) = 0. det(A−λI)=det(−3−λ002−λ)=(−3−λ)(2−λ)=0.
因此， A A A 的特征值是 λ 1 = − 3 \lambda_1 = -3 λ1=−3 和 λ 2 = 2 \lambda_2 = 2 λ2=2。
接下来，我们计算特征向量。对于 λ 1 = − 3 \lambda_1 = -3 λ1=−3，我们必须求解方程
A V = − 3 V AV = -3V AV=−3V
对于 V V V。如果 V 1 = ( x 1 , y 1 ) V_1 = (x_1, y_1) V1=(x1,y1)，则我们有：
{ − 3 x 1 = − 3 x 1 2 y 1 = − 3 y 1 \begin{cases} -3x_1 = -3x_1 \\ 2y_1 = -3y_1 \end{cases} { −3x1=−3x12y1=−3y1
因此，任何沿着 y = 0 y = 0 y=0（ x x x轴）的非零向量 V V V 都是 λ 1 = − 3 \lambda_1 = -3 λ1=−3 的特征向量。我们选择 V 1 = ( 1 , 0 ) V_1 = (1, 0) V1=(1,0)。因此，解
Y 1 ( t ) = e − 3 t V 1 Y_1(t) = e^{-3t} V_1 Y1(t)=e−3tV1
是一个直线解，其解曲线是正 x 轴。解会随着 t t t 的增加而趋向原点。
以类似的方式，我们可以检查任何对应于 λ 2 = 2 \lambda_2 = 2 λ2=2 的特征向量都位于 y y y 轴上。我们选择 V 2 = ( 0 , 1 ) V_2 = (0, 1) V2=(0,1)，并得到第二个解
Y 2 ( t ) = e 2 t V 2 . Y_2(t) = e^{2t} V_2. Y2(t)=e2tV2.
因此，通解是
Y ( t ) = k 1 e − 3 t V 1 + k 2 e 2 t V 2 = ( k 1 e − 3 t k 2 e 2 t ) . Y(t) = k_1 e^{-3t} V_1 + k_2 e^{2t} V_2 = \begin{pmatrix} k_1 e^{-3t} \\ k_2 e^{2t} \end{pmatrix}. Y(t)=k1e−3tV1+k2e2tV2=(k1e−3tk2e2t).
在图 3.12 中，我们展示了这个系统的相图。直线解位于坐标轴上，但所有其他解的行为不同。在图中，我们看到其他解似乎趋向于 y y y 轴的无穷远，并且从 x x x 轴的无穷远处过来。为了理解原因，考虑一个不是直线解的解 Y ( t ) Y(t) Y(t)。然后
Y ( t ) = k 1 e − 3 t V 1 + k 2 e 2 t V 2 , Y(t) = k_1 e^{-3t} V_1 + k_2 e^{2t} V_2, Y(t)=k1e−3tV1+k2e2tV2,
图3.12
其中 k 1 k_1 k1 和 k 2 k_2 k2 都是非零常数。当 t t t 很大且为正时，项 e − 3 t e^{-3t} e−3t 非常小。因此，对于大的正 t t t，通解中的向量 e − 3 t V 1 e^{-3t} V_1 e−3tV1 可以忽略不计，我们有：
Y ( t ) ≈ k 2 e 2 t V 2 = ( 0 k 2 e 2 t ) . Y(t) \approx k_2 e^{2t} V_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ k_2 e^{2t} \end{pmatrix}. Y(t)≈k2e2tV2=(0k2e2t).
也就是说，对于大的正 t t t 值，我们的解表现得像一个在 y 轴上的直线解。
当我们考虑大的负 t t t 值时情况则相反。在这种情况下，项 e 2 t e^{2t} e2t 非常小，因此我们有：
Y ( t ) ≈ k 1 e − 3 t V 1 = ( k 1 e − 3 t 0 ) , Y(t) \approx k_1 e^{-3t} V_1 = \begin{pmatrix} k_1 e^{-3t} \\ 0 \end{pmatrix}, Y(t)≈k1e−3tV1=(k1e−3t0),
这是沿 x x x 轴的直线解。
例如，满足 Y ( 0 ) = ( 1 , 1 ) Y(0) = (1, 1) Y(0)=(1,1) 的这个系统的特解是：
Y ( t ) = ( e − 3 t e 2 t ) . Y(t) = \begin{pmatrix} e^{-3t} \\ e^{2t} \end{pmatrix}. Y(t)=(e−3te2t).
这个解的 x x x 坐标随着 t → ∞ t \to \infty t→∞ 而趋向于 0，随着 t → − ∞ t \to -\infty t→−∞ 而趋向于无穷大。 y y y 坐标则表现得相反（参见图 3.13 中的 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图形）。
图3.13
尽管这个例子实际上包含了两个一维的微分方程，但它的相图却完全不同。沿着坐标轴，我们看到了一维方程中熟悉的相线—— x x x 轴上的汇聚点和 y y y 轴上的发散点。所有其他解随着 t → ± ∞ t \to \pm \infty t→±∞ 而趋向于无穷大。这些解从无穷大处朝向与一维汇聚点相关的特征向量方向移动，并且在向一维发散点相关的方向上趋向于无穷大。
任何具有一个正特征值和一个负特征值的线性系统都具有类似的行为。这种形式的平衡点被称为鞍点。这个名字是为了让你想起马鞍。水滴在马鞍上的路径类似于这种线性系统解的路径；它在一个方向上接近马鞍的中心，然后在另一个方向上偏离。
其他类型的鞍点相平面图
前面的例子有一个特殊之处，那就是特征向量恰好位于 x x x 轴和 y y y 轴上。一般情况下，鞍点的特征向量可以位于经过原点的任何两条不同的直线上。这使得相图以及 x ( t ) x(t) x(t) 和 y ( t ) y(t) y(t) 图形在一般情况下显得有所不同。
例如，考虑以下系统：
d Y d t = B Y , \frac{dY}{dt} = BY, dtdY=BY,
其中
B = ( 8 − 11 6 − 9 ) . B = \begin{pmatrix} 8 & -11 \\ 6 & -9 \end{pmatrix}. B
