【数学建模】趣味数学模型——等额还款数学模型

news2024/9/24 17:20:00

问题

在银行贷款中，通常采用等额还款。假定银行贷款的年利率为 p，贷款 k 元，分 m 年采用每月等额还款方式还清。问每月还款多少钱？总共还的钱是多少？每月还款中还本金和利息各是多少元？

如果考虑每月等额还本金，结果如何？如贷款 160000 元，分 5 年还清，年利率为 4.032%。给出每种情况下每月的还款额，各自总共还款是多少？

方案一：每月等额还款

计算模型概述

在此方案中，每月还款金额相同，但还款中包含的本金和利息部分随着时间的推移逐渐变化。

Matlab 仿真程序

程序的主要步骤如下：

初始化各项参数：贷款金额 K = 160000 元，还款年限 m= 5 年，年利率 p=4.032%。
计算月利率 r = 12p。
计算每月等额还款金额 a 。
逐月计算还款中的利息部分 L(i) 、本金部分 x(i) 和剩余本金 y(i) 。
输出结果，包括每月的还款金额、还本金、还利息以及剩余本金。

Matlab程序代码：

K = 160000; % 贷款金额
m = 5; % 还款年限
p = 0.04032; % 年利率
r = p / 12; % 月利率
n = m * 12; % 总月数
x = zeros(1, n); % 每月还本金
y = zeros(1, n); % 每月所剩本金
L = zeros(1, n); % 每月还利息
a = K * r * (1 + r)^n / ((1 + r)^n - 1); % 每月等额还款金额

% 初始还款
L(1) = K * r; % 第一个月的利息
x(1) = a - L(1); % 第一个月的本金
y(1) = K - x(1); % 第一个月剩余本金

% 逐月计算
for i = 2:n
    L(i) = y(i-1) * r; % 计算利息
    x(i) = a - L(i); % 计算本金
    y(i) = y(i-1) - x(i); % 更新剩余本金
end

% 输出总还款金额及每月还款详情
fprintf('贷款%6d元, 总共还款%5.2f元\n\n', K, n * a);
fprintf('月 还款金额 还本金 还利息 余本金\n');
for i = 1:n
    fprintf('%2d %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f\n', i, a, x(i), L(i), y(i));
end

方案二：每月等额还本金

计算模型概述

在此方案中，每月偿还的本金固定不变，但由于剩余本金逐月减少，因此每月需支付的利息也逐月减少。每月的总还款金额逐渐减少。

Matlab 仿真程序

程序的主要步骤如下：

初始化各项参数：贷款金额 K = 160000 元，还款年限 m = 5 年，年利率 p = 4.032%。
计算月利率 r =12p。
计算每月固定偿还的本金 $b = \frac{K}{n}$ 。
逐月计算每月还款中的利息部分 L(i)、总还款金额 x(i) 和剩余本金 y(i)。
输出结果，包括每月的还款金额、还本金、还利息以及剩余本金。

Matlab程序代码：

K = 160000; % 贷款金额
m = 5; % 还款年限
p = 0.04032; % 年利率
r = p / 12; % 月利率
n = m * 12; % 总月数

x = zeros(1, n); % 每月还总共的钱
y = zeros(1, n); % 每月所剩本金
L = zeros(1, n); % 每月还利息
b = K / n; % 每月还本金

% 逐月计算
for i = 1:n
    L(i) = (K - (i-1) * b) * r; % 每月还利息
    x(i) = b + L(i); % 每月总还钱
    y(i) = K - i * b; % 余本金
end

% 计算总还款金额及总利息
s1 = sum(L); % 总利息
Total = K + s1; % 总还款

% 输出总还款金额及每月还款详情
fprintf('贷款%6d元, 总共还款%5.2f元\n\n', K, Total);
fprintf('月 还款金额 还本金 还利息 余本金\n');
for i = 1:n
    fprintf('%2d %5.2f %5.2f %5.2f %5.2f\n', i, x(i), b, L(i), y(i));
end