递归--数据结构--黑马

递归

总结一句话，上手直接多刷Leetcode，比看这个更有用。

定义

递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集。

例如，单链表递归遍历的例子：

void f(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    f(node.next);
}

说明：

自己调用自己，如果每个函数对应一个解决方案，自己调用自己意味着解决方案一样(有规律)。
每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无需继续递归。
内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成。

例如，

// 假如链表是，1 -> 2 -> 3 -> null    
void f(Node node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    System.out.println("before: " + node.value);
    f(node.next);
    System.out.println("after: " + node.value);
}

根据递归的性质，从链表头节点开始遍历，打印第一个节点值 $n o d e . v a l u e = 1$ ，进入 $f (n o d e . n e x t)$ 第二个节点不为空，打印第二个节点值 $n o d e . v a l u e = 2$ ，进入 $f (n o d e . n e x t)$ 到第三个节点（不为null），打印第三个节点值 $n o d e . v a l u e = 3$ ，进入 $f (n o d e . n e x t)$ ，因为当前节点为null，则进入 $i f$ 语句，return返回，执行第三次 $f$ 函数的输出语句，得到 $n o d e . v a l u e = 3$ ，然后执行第二次 $f$ 函数的输出语句，得到 $n o d e . v a l u e = 2$ ，最后执行第一次 $f$ 函数的输出语句，得到 $n o d e . v a l u e = 1$ 。

使用伪代码执行流程如下，不考虑语法正确。

// 假如链表是，1 -> 2 -> 3 -> null   
void f(Node node = 1) {
    System.out.println("before: " + node.value);			// 1
    void f(Node node = 2) {
        System.out.println("before: " + node.value);		// 2
        void f(Node node = 3) {
            System.out.println("before: " + node.value);	// 3
            void f(Node node = null) {
                if (node == null) {
                    return;
                }
            }
            System.out.println("after: " + node.value);		// 3
        }
        System.out.println("after: " + node.value);			// 2
    }
    System.out.println("after: " + node.value);				// 1
}

简单应用

例1 - 阶乘

用递归方法求阶乘

阶乘定义： $\cdots(n-2)·(n-1)·n$ ，其中 $n$ 为自然数， $0! = 1$ 。
递推关系

$\begin{cases} 1, & n=1 \\ n*f(n-1), & n>1 \end{cases}$

public class Factorial {
    public int f(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return n * f(n - 1);
    }
}

例2 - 递归反向打印字符串

public class ReversePrintString{
    
    public static void f(int n, String str) {
        if (n == str.length()) {		// 当n索引等于字符串长度，return
            return;
        }
        f(n + 1, str);
        System.out.println(str.charAt(n));
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        f(0, "abcd");
    }
}

例3 - 递归版二分查找

public class BinarySearch {
    
    public static int search(int[] a, int target) {
        return f(a, target, 0, a.length - 1);
    }
    
    // 实现递归的方法
    private static int f (int[] a, int target, int i, int j) {
        if (i > j) {
            // 递归终止条件，未找到
            return -1;
        }
        int m = (i + j) >>> 1;
        if (target < a[m]) {
            return f(a, target, i, m - 1);
        } else if (target > a[m]) {
            return f(a, target, m + 1, j);
        } else {
            return m;
        }
    }
    
}

例4 - 递归版冒泡排序

public class BubbleSort{
    
    public static void sort (int[] a) {
        bubble(a, a.length - 1);
    }
    
    private static void bubble(int[] a, int j) {
        if (j == 0) {
            return;
        }
        for(int i = 0; i < j; i++) {
            if (a[i] > a[i + 1]) {
                swap(a, i, i + 1);
            }
        }
        bubble(a, j - 1);
    }
    
    
    public static void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

递归版冒泡排序改进

public class BubbleSort{
    
    public static void sort (int[] a) {
        bubble(a, a.length - 1);
    }
    
    private static void bubble(int[] a, int j) {
        if (j == 0) {
            return;
        }
        int x = 0;		// 使用变量x记录下次排序的右边界
        for(int i = 0; i < j; i++) {
            if (a[i] > a[i + 1]) {
                swap(a, i, i + 1);
            	x = i;
            }
        }
        bubble(a, x);
    }
    
    
    public static void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
}

或者不使用递归，直接使用循环，如下

public class BubbleSort{
    
    public static void sort (int[] a) {
        int j = a.length - 1;
        while (true) {
        	int x = 0;		// 使用变量x记录下次排序的右边界
            for(int i = 0; i < j; i++) {
                if (a[i] > a[i + 1]) {
                    swap(a, i, i + 1);
                    x = i;
                }
            }
            j = x;
            if (j == 0) {
            	break;
            }
        }
    }
    
    public static void swap(int[] a, int i, int j) {
        int temp = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = temp;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }
}

例5 - 递归版插入排序

public class InsertionSort{
    public static void sort(int[] a) {
        insertion(a, 1);
    }
    
    public static void insertion(int[] a, int low) {
        if (low == a.length) {
            return;
        }
		int t = a[low];
        int i = low - 1;
        while (i >= 0 && a[i] > t) {
            a[i + 1] = a[i];
            i--;
        }
        if (low - 1 != i) {
			a[i + 1] = t;
        }
        insertion(a, low + 1);
    }
    
}

不使用递归，直接使用循环，如下

public class InsertionSort{
    public static void sort(int[] a) {
        for(int low = 1; low < a.length; low++) {
			int t = a[low];			// 插入的值
            int i = low - 1;		// 已排序的右边界
            while (i >= 0 && a[i] > t) {
                a[i + 1] = a[i];
                i--;
            }
            // 找到插入点，找到比插入值小的索引
            if (low - 1 != i) {
                a[i + 1] = t;
            }
        }
    }
}

例6 - 斐波那契数列

递推关系

$=\begin{cases}0,& n=0\\ 1 & n=1 \\ f(n - 1)+f(n-2), & n>1 \end{cases}$

public class Fibonacci {
    public static int f(int n) {
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        return f(n - 1) + f(n - 2);
    }
}

改进算法如下，使用空间换时间

public class Fibonacci {
    public static int fibonacci (int n) {
        int[] cache = new int[n + 1];
        Arrays.fill(cache, -1);
        cache[0] = 1;
        cache[1] = 1;
        return f(n, cache);
    }
    
    public static int f (int n, int[] cache) {
        if (cache[n] != -1) {
            return cache[n];
        } 
        cache[n] = f(n - 1) + f(n - 2);
        return cache[n];
    }
}

递归时间复杂度计算

Master theorem 主定理

若有递归式
$T(n)=aT(\frac{n}{b} + f(n))$
其中

$T (n)$ 是问题运行的时间， $n$ 是数据规模
a 是子问题个数
$T(\frac{n}{b})$ 子问题运行的时间，每个子问题被拆成原问题数据规模的 $\frac{n}{b}$
$f (n)$ 是除去递归外运行的时间。

令 $x=log_{b}a$ ，即 $x=log_{子问题缩小倍数}$ 子问题个数

那么
$\begin{cases} \Theta(n^x) & f(n)=O(n^c)并且c<x\\ \Theta(n^xlogn) & f(n)=\Theta(n^x)\\ \Theta(n^c) & f(n)=\Omega(n^c)并且c>x \end{cases}$

例 1

$T(n)=2T(\frac{n}{2} + n^4)$

$x = 1 < 4$ ，由后者决定时间复杂度 $\Theta(n^4)$ 。

例 2

$T(n)=T(\frac{7n}{10} + n^4)$

$x = 0 < 1$ ，由后者决定时间复杂度 $\Theta(n)$ 。

例 3

$T(n)=16T(\frac{n}{4} + n^2)$

$x = 2 = 2$ ，由前者决定时间复杂度 $\Theta(n^2logn)$ 。

例 4 - 递归-二分查找

public static int f(int[] a, int target, int i, int j) {
    int m = (i + j) >>> 1;
    if (i > j) {
        return - 1;
    }
    if (target < a[m]) {
        return f(a, target, i, m - 1);
    } else if (target > a[m]) {
        return f(a, target, m + 1, j);
    } else {
        return m;
    }
}

子问题个数 $a = 1$ ；
子问题数据规模缩小倍数 $b = 2$ ；
除递归外执行的计算是常数级 $c = 0$ ；

$T(n)=T(\frac{n}{2} + n^0)$

因为 $x = 0 = 0$ ，时间复杂度为 $\Theta(logn)$ 。

例 5 - 递归-归并排序

// 伪代码
void split(B[], i, j, A[]) {
    if (j - i <= 1) {
        return;
    }
    m = (i + j) >>> 1;
    
    // 递归
    split(B[], i, m - 1, A[]);
    split(B[], m + 1, j, A[]);
    
    // 合并
    merge（B, i, m, j, A);
}

子问题个数 $a = 2$ ；
子问题数据规模缩减倍数 $b = 2$ ；
除递归外，主要时间花在合并上，用 $f (n) = n$ 表示；

$T(n)=2T(\frac{n}{2} + n)$

因为 $x = 1 = 1$ ，时间复杂度为 $\Theta(nlogn)$ 。

展开定理

例 1 - 递归求和

long sum(long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return sum(n - 1) + n;
}

$T (n) = T (n - 1) + c$ ， $T (1) = c$

如下展开过程

$T (n) = T (n - 2) + c + c$

$T (n) = T (n - 3) + c + c + c$

$\cdots$

$T (n) = T (1) + (n - 1) c = n c$

时间复杂度： $O (n)$

例 2 - 递归冒泡排序

void bubble(int[] a, int high) {
    if (high == 0) {
        return;
    }
    for(int i = 0; i < high; i++) {
        if (a[i] > a[i + 1]) {
            // 交换
            swap(a, i, i + 1);
        }
    }
    return bubble(a, high - 1);
}

$T (n) = T (n - 1) + n$ ， $T (1) = c$

如下展开过程

$T (n) = T (n - 2) + (n - 1) + n$

$T (n) = T (n - 3) + (n - 1) + (n - 2) + n$

$\cdots$

$T(n)=T(1)+2+\cdots+n=T(1)+(n - 1)\frac{n+2}{2}=c+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}-1$

时间复杂度： $O(n^2)$

推导公式网址

推导公式网址
在这里插入图片描述

多路递归

例 1-汉诺塔

public class HanoiTower{
    
    static LinkedList<Integer> a = new LinkedList<>();
    static LinkedList<Integer> b = new LinkedList<>();
    static LinkedList<Integer> c = new LinkedList<>();
    
    static void init(int n) {
        for (int i = n; i >= 1; i--) {
            a.addLast(i);
        }
    }
    // n 为圆盘个数
    // a, 源
    // b, 借
    // c, 目标
    static void move(int n, LinkedList<Integer> a, LinkedList<Integer> b, LinkedList<Integer> c) {
        if (n == 0) {
            return;
        }
        move(n - 1, a, c, b);			// 借助c盘，将a盘的n-1个移到b盘
        c.addLast(a.removeLast());		// 将a盘中的最后一个移到c盘
        move(n - 1, b, a, c);			// 借助a盘，将b盘的n-1个移动到c盘
    }
    
    public void print(){
        System.out.println("------------");
        System.out.println(a);
        System.out.println(b);
        System.out.println(c);
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        // init(3);
        // print();			// a=[3, 2, 1], b=[], c=[]
        // b.addLast(a.removeLast());		
        // print();			// a=[3, 2], b=[1], c[]
        
        init(3);
        print();
        move(3, a, b, c);
        print();
    }
}

使用展开定理，或者使用公式网址，子问题个数是2，数据规模比原来减少1， $T (n) = 2 T (n - 1) + c$ ，中间操作（将a中的最后一个移动到c）看作常数 $c$ 。
在这里插入图片描述

例 2-杨辉三角

public class PascalTriangle {
    
    // 返回某个位置的值
    public static int element(int i, int j) {
        if (i == 0 || i == j) {
            return 1;
        }
        return element(i - 1, j - 1) + element(i - 1, j);
    }
    
    // 打印空格
    public void printSpace(int n, int i) {
        int num = (n - 1 - i) * 2;
        for(int j = 0; j < num; j++) {
            System.out.print(" ");
        }
    }
    
    
    // 打印前n行的杨辉三角
    public static void print(int n) {
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            printSpace(n, i);
            for(int j = 0; j <= i; j++) {
                System.out.printf("-%4d", element(i, j)); 	// 左对齐，并占4位
            }
            System.out.print();		// 换行处理
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        print(5);
    }
    
}

改进杨辉三角，使用二维数组记录已经计算过的每项元素

public class PascalTriangle {
    
    // 返回某个位置的值
    public static int element(int[][] triangle, int i, int j) {
        if (triangle[i][j] > 0) {
            return triangle[i][j];
        }
        if (i == 0 || i == j) {
            triangle[i][j] = 1;
            return 1;
        }
        triangle[i][j] = element(triangle, i - 1, j - 1) + element(triangle, i - 1, j)
        return triangle[i][j];
    }  
    
    // 打印前n行的杨辉三角
    public static void print(int n) {
        // 创建二维数组
        int[][] triangle = new int[n][];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            // 初始化每行i+1个元素
            triangle[i] = new int[i + 1];
            for(int j = 0; j <= i; j++) {
                System.out.printf("-%4d", element(triangle, i, j)); 	// 左对齐，并占4位
            }
            System.out.print();		// 换行处理
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        print(5);
    }
    
}

改进杨辉三角，使用一维数组

public class PascalTriangle { 
    
    public static void createRow(int[] row, int i) {
        if (i == 0) {
            row[0] = 1;
            return;
        }
        for(int j = i; j > 0; j--) {
            row[j] = row[j] + row[j - 1];
        }
    }
    
    // 打印前n行的杨辉三角
    public static void print(int n) {
        // 初始一维数组
        int[] triangle = new int[n];
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            // 计算
            createRow(row, i);
            for(int j = 0; j <= i; j++) {
                System.out.printf("-%4d", element(triangle, i, j)); 	// 左对齐，并占4位
            }
            System.out.print();		// 换行处理
        }
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        print(5);
    }
    
}