C++第三十七弹---深入理解红黑树：旋转、着色与性质维护

news2024/9/22 8:23:09

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目录

1 红黑树

1.1 红黑树的概念

1.2 红黑树的性质

1.3 红黑树节点的定义

1.4 红黑树结构

1.5 红黑树的插入操作

1.6 红黑树的验证

1.7 红黑树与AVL树的比较

1.8 红黑树的应用

1.9 红黑树完整代码

1 红黑树


1.1 红黑树的概念


红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或
Black。 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

1.2 红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的 
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 (没有连续的两个红色结点)
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点 (每条路径都包含相同数量的黑色结点)
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)


思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

满足上面条件之后，最长的路径就为一黑一红间隔，最短路径为全黑，因此能够保证最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍。


1.3 红黑树节点的定义

思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？

因为结点的定义是为了后面结点的插入做准备的，新插入的结点为红色，可能会违背规则三(没有连续的两个红色结点)，但是新插入的结点为黑色，一定违背规则四(每条路径都包含相同数量的黑色结点)，因此将结点的默认颜色给成红色。

1.4 红黑树结构

红黑树的节点定义的成员变量：

  • 存储值：每个节点存储的值。
  • 左节点指针：指向当前节点的左节点的指针。
  • 右节点指针：指向当前节点的右节点的指针。
  • 双亲节点指针：指向当前节点的双亲节点的指针。根节点的双亲节点指针为空。
  • 结点颜色：表示当前节点的颜色，使用枚举类型。

红黑树结点的定义：

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;// 左孩子
	RBTreeNode<K, V>* _right;// 右孩子
	RBTreeNode<K, V>* _parent;// 双亲
	pair<K, V> _kv;// 存储值
	
	Colour _col;// 结点颜色

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)// 默认使用红色
	{}
};

红黑树基本结构定义：

template<class K,class V>
class RBTree
{
    // 重命名结点
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
    // 插入
	bool Insert(const pair<K, V>& kv);
    // 中序遍历
	void InOrder();
    // 判平衡
	bool IsBalance();
private:
	Node* _root = nullptr;
    // 结点个数，可有可无
	//size_t _size = 0;
};


 

1.5 红黑树的插入操作


红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		// 根节点为黑色
		_root->_col = BLACK;
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		// 插入值更大则插入到右边
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		// 小则在左边
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false
		else
		{
			return false;
		}
	}
	// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
	// key值大于父亲的值则在右侧
	cur = new Node(kv);
	// 新增结点为红色
	cur->_col = RED;
    // // 链接孩子结点
    if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
    // 链接双亲结点
	cur->_parent = parent;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

解决方式：将p,u改为黑，g改为红，然后把g当成cur，继续向上调整。

p为g的左孩子

Node* grandfather = parent->_parent;
Node* uncle = grandfather->_right;
// 叔叔存在且为红
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
	parent->_col = uncle->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;

	// 继续向上处理
	cur = grandfather;
	parent = cur->_parent;
}

p为g的右孩子

Node* grandfather = parent->_parent;
Node* uncle = grandfather->_left;
// 叔叔存在且为红，-》变色即可
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
	parent->_col = uncle->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;

	// 继续往上处理
	cur = grandfather;
	parent = cur->_parent;
}


情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋；相反，p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋，p、g变色--p变黑，g变红

p为g的左孩子

if (cur == parent->_left)
{
	//    g
	//  p   u
	//c
	RotateR(grandfather);
	parent->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}

p为g的右孩子 

// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
// 旋转+变色
//      g
//   u     p
//            c
if (cur == parent->_right)
{
	RotateL(grandfather);
	parent->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}


情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑 

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转，旋转完之后则转换成了情况2。

p为g的左孩子，cur为p的右孩子

对p做左单旋，对g做右单旋，再将cue的颜色改为黑，g的颜色改为红。

else
{
	//    g
	//  p   u
	//    c
	RotateL(parent);
	RotateR(grandfather);
	cur->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}

p为g的右孩子，cur为p的左孩子

 对p做右单旋，对g做左单旋，再将cur的颜色改为黑，g的颜色改为红。

else
{
	//		g
	//   u     p
	//      c
	RotateR(parent);
	RotateL(grandfather);
	cur->_col = BLACK;
	grandfather->_col = RED;
}

1.6 红黑树的验证


红黑树的检测分为两步：

  • 1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
  • 2. 检测其是否满足红黑树的性质
bool Check(Node* root,int blackNum,const int refNum)
{
	if (root == nullptr)
	{
		// 2、判断是否存在相同数量的黑色节点路径
		if (blackNum != refNum)
		{
			cout << "存在黑色结点数量不相等的路径" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
		
	if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
	{
		// 3、判断是否存在连续的红色结点
		cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
		return false;
	}

	if (root->_col == BLACK)
		blackNum++;

	return Check(root->_left,blackNum,refNum)
		&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
}
bool IsBalance()
{
	// 1、判断根节点是否为黑
	if (_root->_col == RED)
	{
		return false;
	}

	int refNum = 0;// 最左路径的黑色结点个数，参考数量
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_col == BLACK)
		{
			refNum++;
		}
		cur = cur->_left;
	}
	return Check(_root,0,refNum);
}

1.7 红黑树与AVL树的比较


红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O(log2 N)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多。

1.8 红黑树的应用

1. C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set

2. Java 库
3. linux内核
4. 其他一些库

1.9 红黑树完整代码

enum Colour
{
	RED,
	BLACK
};

template<class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	
	Colour _col;

	RBTreeNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_col(RED)
	{}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			// 根节点为黑色
			_root->_col = BLACK;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			// 插入值更大则插入到右边
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			// 小则在左边
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			// 二叉搜索树默认不能冗余，因此相等则返回false
			else
			{
				return false;
			}
		}
		// 为空则找到插入位置 需要先找到父亲的位置
		// key值大于父亲的值则在右侧
		cur = new Node(kv);
		// 新增结点为红色
		cur->_col = RED;
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		// 父亲为红色节点则需要调整颜色
		while (parent && parent->_col == RED)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;
			if (parent == grandfather->_left)
			{
				Node* uncle = grandfather->_right;
				// 叔叔存在且为红
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续向上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				// 叔叔不存在或叔叔为黑
				else
				{
					if (cur == parent->_left)
					{
						//    g
						//  p   u
						//c
						RotateR(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//    g
						//  p   u
						//    c
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grandfather->_left;
				// 叔叔存在且为红，-》变色即可
				if (uncle && uncle->_col == RED)
				{
					parent->_col = uncle->_col = BLACK;
					grandfather->_col = RED;

					// 继续往上处理
					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else // 叔叔不存在，或者存在且为黑
				{
					// 情况二：叔叔不存在或者存在且为黑
					// 旋转+变色
					//      g
					//   u     p
					//            c
					if (cur == parent->_right)
					{
						RotateL(grandfather);
						parent->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}
					else
					{
						//		g
						//   u     p
						//      c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);
						cur->_col = BLACK;
						grandfather->_col = RED;
					}

					break;
				}
			}
		}
		_root->_col = BLACK;

		return true;
	}
	// 右单旋 左边较高
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		// 更新parent
		parent->_left = subLR;
		// subLR不为空则更新父亲
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;//xxx

		// 提前存parent的父亲
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subL;

		// parent为根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			// parent为ppNode的左结点
			if (parent == ppNode->_left)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}
	}
	// 左单旋 右边较高
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		// 更新parent
		parent->_right = subRL;
		// subRL不为空
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		// 提前存parent的父结点
		Node* ppNode = parent->_parent;
		parent->_parent = subR;

		// parent为根节点
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			// 左
			if (parent == ppNode->_right)
			{
				ppNode->_right = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}
	bool IsBalance()
	{
		// 1、判断根节点是否为黑
		if (_root->_col == RED)
		{
			return false;
		}

		int refNum = 0;// 最左路径的黑色结点个数，参考数量
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_col == BLACK)
			{
				refNum++;
			}
			cur = cur->_left;
		}
		return Check(_root,0,refNum);
	}
private:
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}
	bool Check(Node* root,int blackNum,const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			// 2、判断是否存在相同数量的黑色节点路径
			if (blackNum != refNum)
			{
				cout << "存在黑色结点数量不相等的路径" << endl;
				return false;
			}
			return true;
		}
			
		if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED)
		{
			// 3、判断是否存在连续的红色结点
			cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;
			return false;
		}

		if (root->_col == BLACK)
			blackNum++;

		return Check(root->_left,blackNum,refNum)
			&& Check(root->_right, blackNum, refNum);
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
	//size_t _size = 0;
};

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