目录
一. 空间分集（space diversity）
二. 系统模型
三. 尝试性译码
3.1 选择性合并算法（selection combining）
3.2 简单相加
四. 最大比合并算法
4.1 合并信号
4.2 设计权重值w
五. 波束赋形
5.1 小结
5.2 与波束赋形的关系
六. 译码
七. 写在最后
一. 空间分集（space diversity）
在接收端实现空间分集最常见有两种：一个叫选择性合并（selection combining）；另一个就是本文的主题叫最大比合并。
其实最大比合并算法可以看成在接收端实现波束赋形（generalized beamforming）。
二. 系统模型
假定某个无线系统有一根发射天线（Tx），两根接收天线（Rx）.发送端射出数据s。当然这个数据需要进行调制，比如QAM调制（Quadrature Amplitude Modulation）。
来看一个例图。
我们仅仅考虑一个时隙。
那么很明显第一根天线会收到r1,第二根天线会收到r2。发射天线与第一根天线之间为平坦衰落的信道增益h1，同理，发射天线与第二根天线之间为平坦衰落的信道增益h2.
由此接收端Rx会受到两个信号，如下等式：
上式子中h1和h2为信道增益（channel gain），通常会被建模为复数高斯分布。
三. 尝试性译码
3.1 选择性合并算法（selection combining）
选择性合并算法的流程如下：
第一步：探测到达每根天线的信号功率
第二步：选择信噪比（SNR）最高的天线
第三步：译码
从以上步骤可以看出，选择性合并算法抛弃了低信号能量的天线，这很浪费。
3.2 简单相加
如果把所有天线的信号都加在一起会怎么样？
首先，信道增益h1和h2都服从复高斯分布。如果写成极坐标的形式，那么h1和h2的模长（magnitude）就服从瑞丽分布（Rayleigh），相位（phase）在0到2π之间服从均匀分布。简单加在一起是没有任何意义的，所有的东西包括噪声都被扩大两倍，每个东西都被平均掉了。
四. 最大比合并算法
4.1 合并信号
我们可以尝试对接收到的信号r1和r2进行线性组合。
首先对r1乘以权重值w1.接着对r2乘以权重值w2.最后相加在一起，可得：
一般化，如果接收天线数是NR根的话，那么合并后的信号可以综合性写为：
需要注意的是，上面式子中的wi也都是复数。并且在设计算法时要求该复数不会放大噪声。
其实这个式子就有点波束赋形的味道了。
4.2 设计权重值w
信道增益h和权重因子w都有两大要素，第一个是模长，第二个是相位。回忆起极坐标的运算，相乘时，模长是直接相乘：
相位是相加：
也就是可以得到：
站在接收者的角度，怎么样设计权重因子对我们更有利呢？
首先，接收者通过信道估计过程（借助训练序列或者周期性的导频符号）可以得到信道增益h的值。
可以设计权重因子w来抵消相位的偏移。
换句话说，权重因子w的相位恰好与信道增益的相位相反。那么此时，合并后的信号则变为：
很明显，此时式子就简单多了。
抵消相位可以看一个简单的极坐标图：
接下来我们可以考虑权重因子的模长了。
如果不做任何改变，让权重因子的模长就是简单的1，那么这个方案也被称之为相等增益合并算法（equal gain combining）。
很明显，这个方法不是最优的。
我们希望信噪比SNR较优的天线能占比更大一些，也就是给予更多的权重。
怎么实现？
可以让权重因子与信道增益同样模长。也就是：
这个过程可以简单看如下图：
简单总结就是两者互为共轭复数，也就是：
那么原来的合并信号则可以化简为：
观察这个表达式，这不就是广义的波束赋形嘛，只不过是在接收端实现的。
在信号处理决策中，最大比合并算法是最优的，很好的实现了分集增益效果。
五. 波束赋形
5.1 小结
共轭复数（complex conjugate）是相位相反，模长相等。
最优的权重因子wj其实就是信道增益hj的共轭复数，如下：
当然，在实际应用中要实现功率归一化（power normalization），也就是保证系数平方和为1.那么每个因子的前面还要乘以如下标量：
5.2 与波束赋形的关系
物理层波束赋形中也利用了共轭复数的思想。但两者之间还是有细微的区别。
在经典的波束赋形场景中，权重wi的共轭性质是相对于到达波的角度来讲的。以此来保证波束朝着特定的方向传输。
在最大比合并算法中，权重因子wj的共轭性质是根据整个平坦衰落的信道增益hj来选择的。在接收端，这便出现了分集（diversity）的思想。
六. 译码
根据权重因子wj的选择，现在待解调（demodulation）的信号为：
备注：如上图，一根发射天线，两根接收天线
复数乘以其共轭复数即为模的平方。
因为噪声值通常很小，可以暂时忽略。那么最后译码出的信号为：
当然，也可以从图形的方式来理解如何译码一个带噪声的信号。
举一个16-QAM的例子。
图中五角星代表16-QAM中的星座点。蓝色小球代表带噪声的信号。黄色的五角星代表最近的星座点。
因为噪声是服从均值为0的高斯分布。所以，离其最近距离的星座点就是最后解调的信号。
七. 写在最后
内容与图片参考自书籍《Wireless Communications From the Ground Up》。
