数据结构入门——06树

news2025/1/3 3:13:07

1.树

树（Tree）非线性数据结构，它是n（n≥0）个节点的有限集合，它满足两个条件 ：

有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点；

其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
因此，树是递归定义的。

树的表示方法 ：树形表示法、目录表示法。

  • 一个节点的子树的个数称为该节点的度数。
  • 一棵树的度数是指该树中节点的最大度数。
  • 度数为零的节点称为树叶或终端节点。
  • 度数不为零的节点称为分支节点。
  • 除根节点外的分支节点称为内部节点。

森林

  • 若树中每个节点的各个子树的排列为从左到右，不能交换，即兄弟之间是有序的，则该树称为有序树。
  • m（m≥0）棵互不相交的树的集合称为森林。
  • 树去掉根节点就成为森林，森林加上一个新的根节点就成为树。

 2.树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，
如：双亲表示法，孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子
兄弟表示法。

2.1兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    DataType _data; // 结点中的数据域
};

2.2双亲表示法

3.二叉树

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子
树和右子树的二叉树组成。

二叉树特点

  1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
  2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒。

3.1特殊的二叉树

3.1.1满二叉树

一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是(2^k) -1 ，则它就是满二叉树。

3.1.2完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。最后一层是连续的，前面的k-1层为满的。 满二叉树是一种特殊的完全二叉树。完全二叉树度为1 的，最多有一个。

3.2二叉树的性质

  1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
  2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h- 1.(等比数列求和1+2+2^2+...+2^h)
  3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1.
  4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=LogN.

3.3二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

3.3.1顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树
会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

 在数组中:   父亲下标为i,左孩子下标为2*i+1,右孩子下标为2*i+2.

                    孩子下标为i,父亲下标为(i-1)/2.(不论是左还是右，下标都为整数)

3.3.2链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的
方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩
子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。

// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode比特就业课
{
    struct BinTreeNode* pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}；

4.二叉树链式结构的实现

所谓遍历(Traversal)是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访
问结点所做的操作依赖于具体的应用问 题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，是二叉树上进行
其它运算之基础。

4.1二叉树链式结构的遍历

  • 前序/中序/后序的递归结构遍历：是根据访问结点操作发生位置命名，为深度优先。
  1.  NLR：前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——根->左子树->右子树。
  2.  LNR：中序遍历(Inorder Traversal)——左子树->根->右子树。
  3. LRN：后序遍历(Postorder Traversal)——左子树->右子树->根。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node）、L(Left subtree）和R(Right subtree）又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

  • 层序遍历：设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。为广度优先。
typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
}BTNode;

BTNode* BuyBTNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		printf("malloc fail\n");
		exit(-1);
	}

	node->data = x;
	node->left = node->right = NULL;
	return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyBTNode(1);
	BTNode* node2 = BuyBTNode(2);
	BTNode* node3 = BuyBTNode(3);
	BTNode* node4 = BuyBTNode(4);
	BTNode* node5 = BuyBTNode(5);
	BTNode* node6 = BuyBTNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;

	return node1;
}

上述代码创建一个二叉树，如下图所示

4.1.1前序遍历(A->B->D->NULL->C->F->G)

void PrevOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

4.1.2中序遍历（D->B->NULL->A->F->C->G） 

void InOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL){
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

4.1.3后序遍历 (D->NULL->B->F->G->C->A)

void PosOrder(BTNode* root) {
	if (root == NULL){
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PosOrder(root->left);
	PosOrder(root->right);
    printf("%d ", root->data);
}

4.1.4二叉树的结点个数

int BTreeSize(BTNode* root) {
	return root == NULL ? 0 :
		BTreeSize(root->left) 
		+ BTreeSize(root->right) + 1;
}

4.1.5第k层的节点的个数，k >= 1

int BTreeKLevelSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k >= 1);

	if (root == NULL)
		return 0;

	if (k == 1)
		return 1;

	return BTreeKLevelSize(root->left, k - 1)
		+ BTreeKLevelSize(root->right, k - 1);
}

4.1.6求二叉树的深度

int BTreeDepth(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;

	int leftDepth = BTreeDepth(root->left);
	int rightDepth = BTreeDepth(root->right);

	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

4.1.7二叉树查找值为x的结点

BTNode* BTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->data == x)
		return root;

	BTNode* ret1 = BTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	//return BTreeFind(root->right, x);
	BTNode* ret2 = BTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

4.1.8二叉树销毁

void BTreeDestory(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}

	BTreeDestory(root->left);
	BTreeDestory(root->right);
	free(root);
}

4.1.9层序遍历(需要队列进行入队和出队)

void LevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
	{
		QueuePush(&q, root);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);

		printf("%d ", front->data);
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}

		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}

	printf("\n");
	QueueDestory(&q);
}

4.1.10判断二叉树是否是完全二叉树

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool BTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);

	if (root)
		QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front == NULL)
			break;

		QueuePush(&q, front->left);
		QueuePush(&q, front->right);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		// 空后面出到非空，那么说明不是完全二叉树
		if (front)
		{
			QueueDestory(&q);
			return false;
		}
	}

	QueueDestory(&q);
	return true;
}

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