线性规划的作用
求一个线性目标函数在线性可行域内的最值问题
线性规划的典型应用
- 配送运输问题：选大车还是小车
- 生产规划问题：每种原料各买多少
- 几何切割问题：切割长宽各多少
- 买卖利润问题：最多能挣多少钱
- …
线性规划的本质
问题是线性的
约束是线性的
线性代数基本概念
线性代数基本概念：向量
向量的基本运算：
![![[Pasted image 20240814153235.png]]](https://i-blog.csdnimg.cn/direct/ab9066c427114a14ab01cfd15358d34d.png)
向量的集合：矩阵
这里不细讲了，忘了就复习线性代数
运用Python进行矩阵运算
- 首先导入numpy库
import numpy as np
- 使用np.array创建矩阵
a = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b = np.array([[1,2],[3,4],[5,6]])
c = np.array([[1,2,3]])
d = np.array([[9,8,7],[3,2,1]])
- 矩阵加法和数乘
sum = a + b #加法
e = 3 * a #数乘
- 使用np.dot进行矩阵相乘
e = np.dot(a, b)
- 元素乘（要求行列一致）
e = a * d
- 矩阵转置
e = c.T
- 使用np.linalg.inv求逆
result = np.linalg.inv(e)
- 使用np.linalg.det求行列式
reslut = np.linalg.det(e)
- 使用np.linalg.matrix_rank求矩阵的秩
e = np.linalg.matrix_rank(d)
运用Python求解一次方程组
例如：
{
10
x
−
y
−
2
z
=
72
−
x
+
10
y
−
2
z
=
83
−
x
−
y
+
5
z
=
42
)
\left\{\begin{aligned} 10 x-y-2 z= & 72 \\ -x+10 y-2 z= & 83 \\ -x-y+5 z= & 42 \end{aligned}\right)
⎩
⎨
⎧10x−y−2z=−x+10y−2z=−x−y+5z=728342
解法：
x
=
A
−
1
b
x=A^{-1} b
x=A−1b
求数值解：使用numpy库
import numpy as np
A = np.array([[10, -1, -2], [-1, 10, -2], [-1, -1, 5]]) # A为系数矩阵
b = np.array([72, 83, 42]) # b为常数列
inv_A = np.linalg.inv(A) # 求A的逆矩阵
x = inv_A.dot(b) # A的逆矩阵点乘b
x = np.linalg.solve(A, b) # 5,6行可用本行替代
print(x)
结果：[11. 12. 13.]
我们还可以使用sympy库求符号解或数值解：
from sympy import symbols, Eq, solve
x, y, z = symbols('x y z')
# 直接写入方程形式
eqs = [Eq(10 * x - y - 2 * z, 72),
Eq(-x + 10 * y - 2 * z, 83),
Eq(-x - y + 5 * z, 42)]
print(solve(eqs, [x, y, z]))
结果：{x: 11, y: 12, z: 13}
从矩阵角度思考线性规划的标准形式
- 不等式组条件矩阵化
- 方程组条件矩阵化
- 写出变量自身的取值范围
- 把目标函数向量化
- 求极值
用程序做线性规划问题时的规范形式：
min
x
c
T
x
s.t.
{
A
x
≤
b
A
e
q
⋅
x
=
b
e
q
l
b
≤
x
≤
u
b
\begin{aligned} & \min _x c^T x \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} A x \leq b \\ A e q \cdot x=b e q \\ l b \leq x \leq u b \end{array}\right. \end{aligned}
xmincTx s.t. ⎩
⎨
⎧Ax≤bAeq⋅x=beqlb≤x≤ub
- 求一个线性函数的极小值
- 不等式约束一定是小于等于号
线性规划的三要素：决策变量、目标函数、约束条件
线性规划的Python程序求解
例：
max
z
=
2
x
1
+
3
x
2
−
5
x
3
\max \quad z=2 x_1+3 x_2-5 x_3
maxz=2x1+3x2−5x3
s
.
t
.
{
x
1
+
x
2
+
x
3
=
7
2
x
1
−
5
x
2
+
x
3
>
=
10
x
1
+
3
x
2
+
x
3
<
=
12
x
1
,
x
2
,
x
3
>
=
0
s.t. \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+x_3=7 \\ 2 x_1-5 x_2+x_3>=10 \\ x_1+3 x_2+x_3<=12 \\ x_1, x_2, x_3>=0\end{array}\right.
s.t.⎩
⎨
⎧x1+x2+x3=72x1−5x2+x3>=10x1+3x2+x3<=12x1,x2,x3>=0
前面提到，规范形式中要求极小值，且不等式约束必须是小于等于号
所以目标函数和第一条不等式需要乘以-1
import numpy as np
from scipy import optimize
# 向量化
c = np.array([-2, -3, 5]) # 乘以-1变为求极小值
Aeq = np.array([[1, 1, 1]]) # 方程
beq = np.array([7])
A = np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]) # 不等式
b = np.array([-10, 12])
x1, x2, x3 = (0, None), (0, None), (0, None) # 范围
res = optimize.linprog(c, A, b, Aeq, beq, bounds=(x1, x2, x3)) # 计算
print(res)
结果：
message: Optimization terminated successfully. (HiGHS Status 7: Optimal)
success: True
status: 0
fun: -14.571428571428571 # 最优函数值（因为要取最大值所以结果要取fun的相反数）
x: [ 6.429e+00 5.714e-01 0.000e+00] # x的结果
nit: 3 # 3轮计算得出结果
lower: residual: [ 6.429e+00 5.714e-01 0.000e+00]
marginals: [ 0.000e+00 0.000e+00 7.143e+00]
upper: residual: [ inf inf inf]
marginals: [ 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00]
eqlin: residual: [ 0.000e+00]
marginals: [-2.286e+00]
ineqlin: residual: [ 0.000e+00 3.857e+00]
marginals: [-1.429e-01 -0.000e+00]
mip_node_count: 0
mip_dual_bound: 0.0
mip_gap: 0.0
算法的特性：输入、输出、有穷性、确定性、可行性
