Week 2.1
- g ( q ) g(q) g(q) is called `g of q``.
- Rotation matrix
R
R
R:
P
′
=
R
P
P'=RP
P′=RP。旋转矩阵都是正交的（orthogonal），即
R
T
R
=
R
R
T
=
I
R^TR=RR^T=I
RTR=RRT=I；行列式为1
d
e
t
R
=
1
det R =1
detR=1；且旋转矩阵集合对乘法封闭以及逆矩阵封闭的.
因此，对于 R ( t ) R(t) R(t)求导，关于正交性可知， R ˙ R T \dot{R}R^{T} R˙RT 与 R T R ˙ {R}^{T} \dot{R} RTR˙都是斜对称矩阵 - 旋转矩阵特点：围绕哪个轴旋转，哪个轴元素不变为1.
R = [ 1 0 0 0 cos ( θ ) − sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ ) ] = Rot ( x , θ ) \mathbf{R}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ 0 & \sin (\theta) & \cos (\theta) \end{array}\right]=\operatorname{Rot}(x, \theta) R= 1000cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ) =Rot(x,θ) - 刚体转动和欧拉角不是一一对应的（one-to-one）, but alomost. （反例：某个欧拉角为0）
- 关于任意轴旋转的推导：
先分解，沿轴方向与垂直方向，然后根据旋转方向利用叉乘构造新的坐标轴 w \mathbf{w} w,旋转之后的新轴可以用垂直方向单位向量 v \mathbf{v} v、 w \mathbf{w} w、旋转角 ϕ \phi ϕ组合表示，然后再向新轴旋转（取原长），再加上原本沿轴方向的部分。
其生成的旋转矩阵表达式（Rodrigues’ formula）： Rot ( u , ϕ ) = I cos ϕ + u u T ( 1 − cos ϕ ) + u ^ sin ϕ \operatorname{Rot}(u, \phi)=I \cos \phi+u u^{T}(1-\cos \phi)+\hat{u} \sin \phi Rot(u,ϕ)=Icosϕ+uuT(1−cosϕ)+u^sinϕ
- 沿常轴旋转，角速度也沿常轴；且此时， R ˙ R T \dot{R}R^{T} R˙RT 与 R T R ˙ R^T\dot{R} RTR˙相等，仅沿该常轴部分为1，其余元素为0.
- R ˙ R T → \dot{R}R^{T} \rightarrow R˙RT→ space angular veclocity, R T R ˙ → R^T\dot{R} \rightarrow RTR˙→ body angular veclocity.
Week 2.2
- Skew-symmetic matrix 斜对称矩阵
A
T
=
−
A
A^T=-A
AT=−A，所以对角线元素全0。由于元素的特殊性质，我们可以用一个向量
u
u
u来表示这个矩阵。由于这个性质，这种矩阵通常也有一个新的表达方式
- 四元数（quaternion）
每一个旋转可以由两个相反的四元数表示。
使用四元数的表示比旋转矩阵更加紧凑，并且不含有奇点（singularity）。
