引言

正如有句话说的好，neurons-that-fire-together-wire-together（一同激活的神经元关联在一起）

一、反向传播算法的直观解释

想象一下，正在组装一个复杂的装置，这个装置由许多组件组成，每个组件都对最终的输出有影响。现在，如果发现输出不正确，需要找出哪些组件导致了这个问题，并相应地调整它们

1.1 前向传播

• 你向装置输入一个信号，这个信号通过一系列组件传递，每个组件都会对信号进行一些处理（比如放大或减弱）
• 最终，信号到达输出端，你得到了一个结果

1.2 计算误差

• 你将得到的结果与期望的结果进行比较，计算它们之间的差异，这个差异就是误差

1.3 反向传播误差

• 现在，你需要找出每个组件对最终误差的贡献。你从输出端开始，逆向检查每个组件
• 对于每个组件，你计算它对最终误差的影响有多大。如果某个组件对误差的影响很大，那么它很可能就是问题所在

1.4 更新权重

• 一旦你知道了每个组件的影响，你就可以调整它们，使得下次输入相同的信号时，输出更接近期望值
• 你根据每个组件对误差的贡献来调整其设置（在神经网络中，这些设置就是权重）
  这个过程需要反复进行，每次输入信号后，你都要计算误差，然后反向传播这个误差，并更新组件的设置

二、微积分原理

反向传播算法的数学基础是微积分中的链式法则。以下是链式法则在反向传播中的应用：

2.1 损失函数$L$

• 损失函数衡量了网络预测值 $\hat{y}$ 与真实值 $y$ 之间的差异。常见的损失函数有均方误差（MSE）和交叉熵损失

2.2 链式法则的应用

• 假设神经网络有一个输出层和一个隐藏层。输出层的激活函数为 $f$，隐藏层的激活函数为$g$
• 根据链式法则，损失函数$L$对隐藏层输出的导数可以表示为：
  $$\frac{\partial L}{\partial g}=\frac{\partial L}{\partial f}\cdot \frac{\partial f}{\partial g}$$
• 这意味着，为了计算损失函数对隐藏层输出的导数，我们需要知道损失函数对输出层输出的导数（输出层的梯度），以及输出层输出对隐藏层输出的导数（隐藏层到输出层的权重）

2.3 计算梯度

• 对于输出层，我们可以直接计算损失函数对输出层激活值的导数
• 对于隐藏层，我们需要将输出层的梯度与输出层和隐藏层之间的权重相乘，然后乘以隐藏层激活函数的导数（即 $\frac{\partial g}{\partial z}$，其中 $z$ 是隐藏层的线性组合）

2.4 权重的梯度

• 最后，我们计算损失函数对每个权重的导数。这涉及到将损失函数对激活值的导数与激活值对权重的导数相乘
• 对于权重 $w$ 来说，其梯度可以表示为：
  $$\frac{\partial L}{\partial w}=\frac{\partial L}{\partial g}\cdot \frac{\partial g}{\partial z}\cdot \frac{\partial z}{\partial w}$$
• 其中，$\frac{\partial z}{\partial w}$ 就是隐藏层的输入。

2.5 总结

通过这种方式，反向传播算法能够计算出损失函数对每个权重的梯度，然后我们可以使用这些梯度来更新权重，以减少损失函数的值。这个过程不断重复，直到网络性能达到一个满意的水平。

三、链式法则

链式法则是微积分中的基本法则，用于计算复合函数的导数。假设我们有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们复合成一个新函数 $h(x)=f(g(x))$。链式法则告诉我们如何计算 $h$对$x$的导数：
$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

换句话说，复合函数的导数等于内函数的导数乘以外函数的导数

四、反向传播中的链式法则

在神经网络中，每一层的输出都是下一层的输入，这形成了一个复杂的函数复合结构。反向传播算法通过链式法则来计算损失函数$L$对网络中每个参数的梯度

以下是反向传播中链式法则的应用步骤：

4.1 前向传播

• 输入样本通过网络，每层计算其输出，直到最后一层产生预测值$\hat{y}$
• 计算损失函数 $L(\hat{y},y)$，其中$y$是真实标签

4.2 计算损失函数对输出的梯度

• 首先计算损失函数对网络输出的梯度，即$\frac{\partial L}{\partial \hat{y}}$

4.3 反向传播

• 从输出层开始，使用链式法则计算损失函数对每个参数的梯度。
• 对于网络中的每一层$l$，假设其输入是$z^{(l)}$，激活函数是$a^{(l)}=\sigma (z^{(l)})$，那么链式法则可以表示为：
  $$\frac{\partial L}{\partial z^{(l)}}=\frac{\partial L}{\partial a^{(l)}}\cdot \frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}$$
• 其中，$frac\partial L\partial a^{(l)}$是从下一层传递回来的梯度，$\frac{\partial a^{(l)}}{\partial z^{(l)}}$是激活函数的导数

4.4 计算对权重的梯度

• 对于层 $l$ 中的每个权重 $w^{(l)}$，其梯度可以表示为：
  $$\frac{\partial L}{\partial w^{(l)}}=\frac{\partial L}{\partial z^{(l)}}\cdot \frac{\partial z^{(l)}}{\partial w^{(l)}}$$
• 其中，$\frac{\partial z^{(l)}}{\partial w^{(l)}}$是输入$x^{(l)}$或前一层的激活$a^{(l-1)}$

4.5 更新参数

• 使用计算出的梯度来更新网络的权重和偏置。

4.6 总结

通过这种方式，反向传播算法能够有效地计算出损失函数对网络中每个参数的梯度，从而允许我们使用梯度下降或其他优化算法来训练神经网络。链式法则是实现这一过程的关键数学工具