旋转图像

思路：

第一意识是找一个数学规律，一个公式可以找到对应的位置。

唉 想不出 没啥思路 看题解了。

一看就懂了  规律就是。。。。。。：原来第 i 行第 j 列的元素 在旋转后  会在第 j 行倒数第i列。

这种题目做少了，多做几个矩阵的总结一下规律就懂了。

法一：这是利用辅助矩阵的方法。

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        // C++ 这里的 = 拷贝是值拷贝，会得到一个新的数组
        auto matrix_new = matrix;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {//翻转后矩阵的[i][j]是之前的[n-1-j][i]
                matrix_new[i][j]=matrix[n-1-j][i];
            }
        }
        matrix=matrix_new;//再来一次值拷贝
    }
};

法二：不使用辅助数组，原地进行操作，故需要考虑覆盖问题。

为什么要这么想呢，可以从n=2,3看看，可以发现旋转都是很有规律的！！！

法二是利用一个关键公式进行推导：

  matrix_new[j][n - i - 1] = matrix[i][j];

这个公式的意思是，原来[i][j]位置的元素 要旋转到[j][n-i-1]。

这个时候[j][n-i-1]就要被覆盖了，我们继续看看这个位置的值旋转后要去哪。

继续代入关键公式，即令i=j，j=n-i-1  我们可以得到[j][n-i-1] 要旋转到[n-i-1][n-j-1]的位置、

我们继续看[n-i-1][n-j-1]要旋转到哪里： 令i=n-i-1,j=n-j-1,我们可以得到[n-i-1][n-j-1]要旋转到

[n-j-1][i]的位置。继续看 ,同理，[n-j-1][i]要旋转到[i][j]

可以大声喊我艹了。我们惊奇的发现闭环了，也就是[i][j]旋转到[j][n-i-1]，[j][n-i-1]旋转到[n-i-1][n-j-1]，[n-i-1][n-j-1]旋转到[n-j-1][i]，[n-j-1][i]又旋转到[i][j]，形成了闭环！！

这个时候，我们每次遍历处理四个元素就可以了，处理这四个元素的时候，存一下[i][j]，即temp=[i][j]，就可以对后续都进行原地赋值操作。即以下五行代码：

temp=[i][j];

[i][j]=[n-j-1][i];

[n-j-1][i]=[n-i-1][n-j-1];

[n-i-1][n-j-1]=[j][n-i-1];

[j][n-i-1]=temp;

每一次处理四个元素，总共有n*n个元素。        

然后剩下的问题是如何确定遍历的范围：

• 因为每次遍历都是操作4个点,显然我们只需遍历n*n/4个格子即可.
• 直觉上n*n/4可以等于 (n/2) * (n/2) (即0 <= i < n/2 ,0 <= j < (n/2)),
• 但也可以等于n * (n/4),究竟是哪种呢?
• 可以自己模拟一下n=2  n=3就明白了。肯定是前者。
• n为偶数的时候是四等分：
• n为奇数时：
• 综上,不管n是奇数还是偶数,遍历的范围都可以表示为0 <= i < n/2 ,0 <= j < ( n+1 /2)

代码：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();
        for(int i=0;i<n/2;i++)
        {
            for(int j=0;j<(n+1)/2;j++)
            {
                int temp=matrix[i][j];
                matrix[i][j]=matrix[n-j-1][i];
                matrix[n-j-1][i]=matrix[n-i-1][n-j-1];
                matrix[n-i-1][n-j-1]=matrix[j][n-i-1];
                matrix[j][n-i-1]=temp;
            }
        }
    }
};

法三：一些巧妙的方法：用翻转代替旋转

用两次翻转代替旋转：

为什么呢？

我们也分别列出沿水平翻转和沿主对角线翻转的公式：

沿水平翻转：matrix_new[n-i-1][j]=matrix[i][j]

沿对角线翻转：matrix_new[j][i]=matrix[i][j]

这两个联立，可以得到。可以得到matrix_new[j][n-i-1]=matrix[i][j] 而这个就是之前说到的关键公式。所以两次翻转就等于将图像顺时针旋转 90 度。

而这种翻转，直接用swap就好了。

代码：

class Solution {
public:
    void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n=matrix.size();
        for(int i=0;i<n/2;i++)//水平翻转
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                swap(matrix[i][j],matrix[n-i-1][j]);
            }
        }
        for(int i=0;i<n;i++)//对角线翻转
        {
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                swap(matrix[i][j],matrix[j][i]);
            }
        }
    }
};