矩阵乘法的结合律的证明

news2024/9/23 17:25:27

矩阵的乘法在矩阵运算中相较于加法更加复杂，对矩阵乘法的运算律的证明也更复杂，但其中对结合律的证明是最难的，因为它涉及到3个矩阵的相乘。本证明不同于其他一些比较粗浅的用方阵去证明或者用三个含很少元素的简单矩阵做一个例证，而是用纯代数的知识做一个纯粹的证明，当然实际上它的证明也不难，并没有超出高中代数的范畴。矩阵代数本身也不难，但发明矩阵代数的人绝对是天才。

设A是一个m行s列的矩阵，B是一个s行n列的矩阵，C是一个n行t列的矩阵，证明(AB)C = A(BC)

证明：我们用 $(a_{ij})_{m \times s}$ 来表示矩阵A， $a_{ij}$ 是A的第i行j列的元素，类似得矩阵B我们用 $(b_{ij})_{s \times n}$ 来表示，矩阵C我们用 $(c_{ij})_{n \times t}$ 来表示。

根据矩阵乘法可知(AB)C和A(BC)都是m行t列的矩阵，(AB)C我们用 $(v_{ij})_{m \times t}$ 来表示，A(BC)我们用 $(w_{ij})_{m \times t}$ 来表示，要证明(AB)C = A(BC)，只需要证明 $v_{ij}$ = $w_{ij}$ 即可。要证明这一点，我们面临三个问题，1）如何得到(AB)C的元素 $v_{ij}$ ？2）如何得到A(BC)的元素 $w_{ij}$ ？3）如何证明 $v_{ij}$ = $w_{ij}$ ？

(AB)C的元素 $v_{ij}$ 是用AB的第i行和C的第j列相乘得到，而AB的第i行是用A的第i行和B的所有列相乘得到，用求和公式表达如下： $v_{ij}$ = $\sum _{l=1} ^{n} \left(\sum _{k=1} ^{s} a_{ik} b_{kl}\right) * c_{lj}$ ，根据加法和乘法的分配律我们可以把 $c_{lj}$ 放到里面那个求和的式子中得 $v_{ij}$ = $\sum _{l=1} ^{n} \sum _{k=1} ^{s} a_{ik} b_{kl}c_{lj}$

A(BC)的元素 $w_{ij}$ 是用A的第i行和BC的第j列相乘得到，而BC的第j列是用B的所有行和C的第j列相乘得到，用求和公式表达如下： $w_{ij}$ = $\sum _{k=1} ^{s} a_{ik} * \left( \sum _{l=1} ^{n} b_{kl}c_{lj} \right)$ ，同样根据加法和乘法的分配律我们可以把 $c_{lj}$ 放到里面那个求和的式子中得 $w_{ij}$ = $\sum _{k=1} ^{s} \sum _{l=1} ^{n} a_{ik} b_{kl}c_{lj}$

那么 $v_{ij}$ = $w_{ij}$ ？感觉是相等的，但确实是相等的，这里的i和j可取任意的可选的值，选定了之后我们把它们看成常量值，就可以用 $e_{kl}$ 来代换 $a_{ik} b_{kl}c_{lj}$ 于是 $v_{ij}$ = $\sum _{l=1} ^{n} \sum _{k=1} ^{s} e_{kl}$ ， $w_{ij}$ = $\sum _{k=1} ^{s} \sum _{l=1} ^{n} e_{kl}$ ，这就很明显了，一个是矩阵的按列求所有元素的和一个是矩阵的按行求所有元素的和的式子， $v_{ij}$ = $w_{ij}$ 成立，于是矩阵乘法的结合律成立。

矩阵的乘法的结合律成立之后，就可以去证明一系列的n阶矩阵（方阵）的幂运算的运算律，比如 $A ^k A ^l = A ^{k+l}$ ， $(A^k)^l = A^{kl}$ 。同时n阶矩阵A和B如果可交换，也可以去证明一些涉及到A、B的运算律，比如 $(AB)^k = A^kB^k$ ， $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ ， $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$ 。