【数学建模】简单的优化模型-5 不买贵的只买对的

news2024/9/25 21:19:36

背景

在琳琅满目的市场里选购商品，我们往往遵循 “不买贵的，只买对的” 的准则。然而哪些商品、买多少才是“对的”？这时候，我们需要用到，消费者追求最大效用（经济学的最优化原理），用数学建模方法帮助决定商品的选择，即效用函数。

效用函数

定量描述吃下面包、缓解饥饿、满足生理和心理需求程度的变化。 $U(x)$ ~吃x片面包获得的满足程度(面包产生的效用), $\Delta U(x)=U(x)-U(x-1)$ ~吃1片面包所产生效用的增量

从图中可以看出， $U(x)$ 递增，增长减慢，曲线是上凸的； $\Delta U(x)\geq 0$ ，递减，曲线是下降的。为了研究这个问题，我们需要说明一些名词和符号：

效用——人们在商品或服务消费中(utility function)获得的生理、心理上的满足程度。

效用函数U(x)——数量为x的某种商品产生的效用.

dU(x)/dx ——x增加1个单位U(x)的增量

边际效用典型的效用函数—— $U(x)=ax^{\alpha},a>0,0<\alpha<1$

边界效用递减——

无差别曲线

两个变量x，y的效用函数x片面包和y根香肠的组合：A1~1片面包加4根香肠，A2~4片面包加1根半香肠，A3~7片面包加1根香肠几种组合的效用相同。

无差别曲线 ~ A1,A2,A3在一条曲线 $U(x,y)=u$ 上(u 常数)；效用函数 $U(x,y)$ 的几何表示等效用线相当于曲面 $U(x,y)=u$ 的一条等高线 $u=u_{i}$

无差别曲线族 ~ 效用函数 $U(x,y)=u$ 的几何表示无美别曲线族。B1(2片面包加5根香肠)与B2, B3连成无差别曲线 $U(x,y)=u_{2}$ ；C1(1片面包加2根香肠)与C2成无差别曲线 $U(x,y)=u_{3}$ ；

无差别曲线特性 ~几何直观、下降、下凸、互不相交

在无差别曲线上，效用函数 $U(x,y)=u$ 不变，x增加，y就减少；边际代替率为 $-\frac{\Delta y}{\Delta x}$ （x增加1个单位引起y的减少量）； $\Delta x$ 趋于0时， $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 趋于曲线斜率 $\frac{d y}{d x}$ 。而x，y的边界效用分别为 $\frac{\partial U}{\partial x}$ $\frac{\partial U}{\partial y }$ ，用 $\Delta x$ 代替 $- \Delta y$ 后效用不变，即 $\frac{\partial U}{\partial x} \Delta x=-\frac{\partial U}{\partial y} \Delta y$ ， $\frac{dy}{dx} =-\frac{\partial U / \partial x}{\partial U / \partial y}> 0$ 。我们可以知道，边际替代率等于边际效用之比。