【Python机器学习】回归——局部加权线性回归

news2024/12/28 4:34:10

线性回归有一个问题就是有可能出现过拟合现象，因为它求的是具有最小均方误差的无偏估计。如果模型欠拟合将不能取得最好的预测效果。所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，从而降低预测的均方误差。

其中一个方法就是局部加权线性回归（LWLR），在该算法中，我们给待预测点附近的每个点赋予一定的权重，然后在这个子集上基于最小均方差来进行普通的回归，与kNN一样，这种算法每次预测均需要事先选取出对应的数据子集。

该算法解出回归系数w的形式如下：

$\widehat{w}=(X^{T}WX)^{-1}X^{T}Wy$

其中w是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重。

LWLR使用“核”来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择，最常用的核是高斯核，高斯核对应的权重如下：

$w(i,i)=exp\left ( \frac{\left | x^{(i)}-x \right |}{-2k^{2}} \right )$

这样就构建了一个只包含对角元素的权重矩阵w，并且点x与x(i)越近，w(i,i)将会越大。上述工时包含一个需要用户指定的参数k，它决定了对附近的点赋予多大的权重，这也是使用LWLR时唯一需要考虑的参数。

下面是具体的代码实现：

def lwlr(testPoint,xArr,yArr,k=1.0):
    xMat=mat(xArr)
    yMat=mat(yArr).T
    m=shape(xMat)[0]
    #创建对角矩阵
    weights=mat(eye((m)))
    for j in range(m):
        diffMat=testPoint-xMat[j,:]
        weights[j,j]=exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
    xTx=xMat.T*(weights*xMat)
    if linalg.det(xTx)==0.0:
        print('行列式为0')
        return 
    ws=xTx.I*(xMat.T*(weights*yMat))
    return testPoint*ws

def lwlrTest(testArr,xArr,yArr,k=1.0):
    m=shape(testArr)[0]
    yHat=zeros(m)
    for i in range(m):
        yHat[i]=lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
    return yHat

上述代码的作用是给定x空间中的任意一点，计算出对应的预测值yHat。函数lwlr()的开头读入数据并创建所需矩阵，之后创建对角权重矩阵weights。权重矩阵时一个方针，阶数等于样本点个数。也就是说，该矩阵为每个样本点初始化了一个权重，接着算法将遍历数据集，计算每个样本点对应的权重值：随着样本点与待预测点距离的递增，权重将以指数级衰减。输入参数k控制衰减的速度。在权重矩阵计算完毕后，就可以得到对回归系数ws的一个估计。

另一个函数是lwlrTest()，用于为数据集中每个点调用lwlr()，这有助于求解k的大小。

载入数据并对单点进行估计：

xArr,yArr=loadDataSet('ex0.txt')
print(lwlr(xArr[0],xArr,yArr,1.0))
print(lwlr(xArr[0],xArr,yArr,0.001))

计算拟合曲线并绘图

yHat=lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.003)
xMat=mat(xArr)
srtInd=xMat[:,1].argsort(0)
xSort=xMat[srtInd][:,0,:]

import matplotlib.pyplot as plt
fig=plt.figure()
ax=fig.add_subplot(111)
ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])
ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0],mat(yArr).T.flatten().A[0],s=2,c='red')
plt.show()