1. 前言
AVL树是一种自平衡的二叉搜索树。为什么会出现AVL树。众所周知，虽然普通的二叉搜索树的平均时间复杂度为O(logn)，但最差的情况的时间复杂度为O(n)。为了避免最差的这种情况，出现了AVL树。
我们规定：如果树有个节点它的左子树的高度-右子树的高度大于1或者它的右子树的高度-左子树的高度小于-1，我们就说该二叉搜索树是不平衡的，需要调整。
2. 四种失衡情况以及解决方案
简单聊聊AVL树相关的四种失衡情况：
- （LL）某节点的左子树高度-右子树高度大于1，且失衡节点的左孩子也高于右孩子或等高；
- （LR）某节点的左子树高度-右子树高度大于1，且其左孩子的左子树高度-右子树高度小于-1；
- （RL）某节点的右子树高度-左子树高度大于1，且其右孩子的左子树高度-右子树高度大于1；
- （RR）某节点的右子树高度-左子树高度大于1，且失衡节点的右孩子也高于左孩子或等高；
AVL树需要进行调整：
- （LL）该节点需要右旋。
- （LR）该节点的左孩子需要左旋，且该节点需要右旋。
- （RL）该节点的右孩子需要右旋，且该节点需要左旋。
- （RR）该节点需要左旋。
LL旋转情况如图：
LR旋转情况如图：
RL旋转情况如图：
RR旋转情况如图：
解决方法：
// 右旋(LL)
private AVLNode RightRotation(AVLNode red) {
AVLNode yellow = red.left;
AVLNode blue = yellow.right;
yellow.right = red;
red.left = blue;
// 更新red节点的高度
updateHeight(red);
// 再更新yellow节点的高度(因为red是yellow的孩子节点，
// 只有计算对了red节点的高度，才会正确得出yellow节点的高度)
updateHeight(yellow);
return yellow;
}
// 左旋(RR)
private AVLNode LeftRotation(AVLNode red){
AVLNode yellow = red.right;
AVLNode blue = yellow.left;
yellow.left = red;
red.left = blue;
updateHeight(red);
updateHeight(yellow);
return yellow;
}
// (LR)
private AVLNode LeftRightRotation(AVLNode node) {
// 失衡节点的左孩子需要左旋
node.left = LeftRotation(node.left);
// 失衡节点需要右旋
return RightRotation(node);
}
// (RL)
private AVLNode RightLeftRotation(AVLNode node) {
// 失衡节点的右孩子需要右旋
node.right = RightRotation(node.right);
// 失衡节点需要左旋
return LeftRotation(node);
}3. AVL树代码
public class AVLTree {
static private class AVLNode{
int key;
Object value;
AVLNode left;
AVLNode right;
// 一个节点的默认高度为1
int height = 1;
public AVLNode(int key, Object value) {
this.key = key;
this.value = value;
}
public AVLNode(int key, Object value, AVLNode left, AVLNode right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
private int doHeight(AVLNode node){
return node == null ? 0 : node.height;
}
private void updateHeight(AVLNode node) {
if (node == null) {
return;
}
node.height = Integer.max(doHeight(node.left), doHeight(node.right)) + 1;
}
// 平衡因子（balance factor）,处于-1，0，1时是满足平衡的。
private int bf(AVLNode node){
return doHeight(node.left) - doHeight(node.right);
}
// 右旋(LL)
private AVLNode RightRotation(AVLNode red) {
AVLNode yellow = red.left;
AVLNode blue = yellow.right;
yellow.right = red;
red.left = blue;
// 更新red节点的高度
updateHeight(red);
// 再更新yellow节点的高度(因为red是yellow的孩子节点，
// 只有计算对了red节点的高度，才会正确得出yellow节点的高度)
updateHeight(yellow);
return yellow;
}
// 左旋(RR)
private AVLNode LeftRotation(AVLNode red){
AVLNode yellow = red.right;
AVLNode blue = yellow.left;
yellow.left = red;
red.left = blue;
updateHeight(red);
updateHeight(yellow);
return yellow;
}
// (LR)
private AVLNode LeftRightRotation(AVLNode node) {
// 失衡节点的左孩子需要左旋
node.left = LeftRotation(node.left);
// 失衡节点需要右旋
return RightRotation(node);
}
// (RL)
private AVLNode RightLeftRotation(AVLNode node) {
// 失衡节点的右孩子需要右旋
node.right = RightRotation(node.right);
// 失衡节点需要左旋
return LeftRotation(node);
}
//检查节点是否失衡，重新平衡代码
private AVLNode balance(AVLNode node) {
if (node == null) return null;
int bf = bf(node);
if (bf > 1 && bf(node.left) >= 0){
// LL
return RightRotation(node);
} else if (bf > 1 && bf(node.left) < 0) {
return LeftRightRotation(node);
} else if (bf < -1 && bf(node.right) > 0) {
return RightLeftRotation(node);
} else if (bf < -1 && bf(node.right) <= 0) {
return LeftRotation(node);
}
// 进行到这，说明该节点不需要做平衡调整
return node;
}
// 向AVL树添加节点，并保持平衡特性
public void put(AVLNode node) {
}
}
