1.贝塞尔曲线简介

1.1什么是贝塞尔曲线

贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线主要用于二维图形应用程序中的数学曲线，曲线由起始点，终止点（也称锚点）和控制点组成，通过调整控制点，通过一定方式绘制的贝塞尔曲线形状会发生变化。后面会具体介绍绘制的方法。

在计算机图形学中贝赛尔曲线的运用很广泛，例如Photoshop中的钢笔效果，Flash5的贝塞尔曲线工具，在软件GUI开发中一般也会提供对应的方法来实现贝赛尔曲线，我们熟知的CSS动画过渡时间函数也是通过贝塞尔曲线（三阶贝塞尔曲线）获取的。

2.贝塞尔曲线类型

贝塞尔曲线根据控制点的数量分为：
一阶贝塞尔曲线（2 个控制点），也叫线性贝塞尔曲线
二阶贝塞尔曲线（3 个控制点），也叫二次贝塞尔曲线
三阶贝塞尔曲线（4 个控制点），也叫三次贝塞尔曲线
n阶贝塞尔曲线（n+1 个控制点），也叫n次贝塞尔曲线

2.1线性贝塞尔曲线

2.2二次贝塞尔曲线

2.3三次贝塞尔曲线

2.4四次和五次贝塞尔曲线

3.贝塞尔曲线原理

3.1线性贝塞尔曲线原理

3.2二次贝塞尔曲线原理

3.3三次贝塞尔曲线原理

3.4贝塞尔曲线公式归纳

4.计算塞贝尔曲线控制点

计算3次Bezier曲线控制点

其中t∈[0,1],写成矩阵方式：C=B∗P

则可以得到

C矩阵中的P0,P1,P2,P3和多项式中的P0,P1,P2,P3含义不一样，C矩阵中的代表t分别为0 、1/3、2/3、1时三次贝塞尔曲线上的四个点，P矩阵求得该塞贝尔曲线所有的控制点。
C矩阵中P0,P1,P2,P3分别时二元组，我们可以表示为P0<x0，y0>,P1<x1，y1>,P2<x2，y2>,P3<x3，y3> 因此C矩阵我们可以拆成两个Cx和Cy向量矩阵

讲Cx和Cy分别带入
分别可以求出Px和Py两个矩阵，Px和Py的对应的每一项组成的xy就是控制点的坐标xy。

5.拓展

在opendrive的ParamPoly3类型的参考线集合体中，
这里的Px=[aU,bU,cU,dU],Py=[aV,bV,cV,dV]。控制点坐标可以表示P0<aU,aV>,P1<bU,bV>,P2<cU,cV>,P3<dU,dV>。