背包问题理论
主要需要掌握：
物品个数上不同！！！
0-1背包：n种物品 每种物品只有一个——只考虑每个物品放与不放
完全背包：n种物品 每种物品有无数个
多重背包：n种物品 每种物品个数各不相同
0-1背包：
应用背景：
n个物品，每个物品可要可不要 不要重复放入的，2^n次方种可能性的，放入问题
1、明确dp数组的定义
dp【i】【j】：从【0，i】的物品中，任取，放入容量为j的背包，能形成的最大价值
2、确定递推公式
分为两种情况：
不放物品i——dp【i-1】【j】——相当于从0~i-1的物品中选取要放入的东西，背包容量为j，找最大价值
放物品i——dp【i-1】【j-weight【i】】+value【i】——背包容量减少了，也就是从0~i-1的物品中选取要放入的东西，背包容量为j-weight【i】，同时第i件物品的价值也应当计算在内
——dp【i】【j】取上述两项的最大值
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i])
3、初始化
从上方 和 左上计算得到的 这个元素
需要初始化第一行&&第一列
第一列肯定是0，背包容量是0，能放的最大价值肯定也是0
第一行，背包容量逐渐增长，对于只能放物品0来说，当背包容量大于物品重量时，存放物品0的价值
其他地方的初始化不影响求值的情况
4、计算顺序
对于二维情况！背包和物品的遍历顺序是可以互相交换的！
用滚动数组进行压缩空间
在使用二维数组的时候，递推公式：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上，表达式完全可以是：dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上，不如只用一个一维数组了，只用dp[j]（一维数组，也可以理解是一个滚动数组）。
这就是滚动数组的由来，需要满足的条件是上一层可以重复利用，直接拷贝到当前层。
一些差异！
定义差异：dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]
公式差异：
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);初始化差异：
dp【0】=0
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数，如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值，而不是被初始值覆盖了。
遍历顺序差异：
简单来说==在二维里，本格=正上方+左上方
因为压缩到了一维，需要保证 在更新前，正上方即本格，左上方即左侧上一轮的值
所以必须从右往左更新
416. 分割等和子集
力扣题目链接(opens new window)
题目难易：中等
给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意: 每个数组中的元素不会超过 100 数组的大小不会超过 200
示例 1:
- 输入: [1, 5, 11, 5]
- 输出: true
- 解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
- 输入: [1, 2, 3, 5]
- 输出: false
- 解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.
提示：
- 1 <= nums.length <= 200
- 1 <= nums[i] <= 100
分析：
类似于放入问题
目标是，可以放入多项，使总和为sum/2
背包问题，大家都知道，有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
背包问题有多种背包方式，常见的有：01背包、完全背包、多重背包、分组背包和混合背包等等。
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入。
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包，而只能放入一次是01背包，写法还是不一样的。
要明确本题中我们要使用的是01背包，因为元素我们只能用一次。
回归主题：首先，本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
要确定：背包的体积是？商品的价值是？商品的重量是？商品能否重复放入（决定背包类型）?
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品（集合里的元素）重量为 元素的数值，价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满，说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入
动规五部曲分析如下：
确定dp数组以及下标的含义
dp[j]表示 背包总容量（所能装的总重量）是j，放进物品后，背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target， dp[target]就是装满 背包之后的重量，所以 当 dp[target] == target 的时候，背包就装满了。
确定递推公式
01背包的递推公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题，相当于背包里放入数值，那么物品i的重量是nums[i]，其价值也是nums[i]。
所以递推公式：dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
dp数组如何初始化
在01背包，一维dp如何初始化，已经讲过，
从dp[j]的定义来看，首先dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了，如果题目给的价值有负数，那么非0下标就要初始化为负无穷。
顺序
如果使用一维dp数组，物品遍历的for循环放在外层，遍历背包的for循环放在内层，且内层for循环倒序遍历！
bool canPartition(int* nums, int numsSize) {
int sum=0,half;
int i,j;
for (i=0;i<numsSize;i++){
sum+=nums[i];
}
if(sum%2==1) return false;
half=sum/2;
int *dp=(int*)malloc(sizeof(int)*(half+1));
for(j=0;j<=half;j++){
dp[j]=0;
}
for (i=0;i<numsSize;i++){
for(j=half;j>=nums[i];j--){
dp[j]=fmax(dp[j], dp[j-nums[i]]+nums[i]);
}
}
return (dp[half]==half);
}
