核心思想：函数逼近

在泰勒的年代，如果想算出e的0.001次方，这是很难计算的。那为了能计算这样的数字，可以尝试逼近的思想。

但是函数又不能所有地方都相等，那退而求其次，只要在一个极小的范围，可以持续逼近就可以了。这里可以看看具体如何逼近呢？

第一步：逼近处的函数值应当一样

可以看到，在重合点处，函数值相同，那这逼近了吗，不对，差距太大了。为什么呢，很明显在重合点之外的地方，差得都太多了。因为趋势不对，那趋势一样呢？

第二步：逼近处的一阶导数一样

那就要求函数值一样，同时导数一样。

这已经非常接近，但是为什么函数值一样，导数值一样，看上去还是不那么贴合呢？因为导数的导数，趋势还不够！斜率不够接近！所以想到了二阶导。

第三步：斜率变化趋势，二阶导一样再试试

第四步：斜率变化趋势的趋势，三阶导一样再试试

......

第五步：斜率变化趋势的趋势的趋势，四阶导一样再试试

......

导数是局部的性质，所以一阶，二阶，三阶，不影响其他部分的趋势。

使用幂函数贴近非常有意义

我们回顾一下一个多项式函数求导的过程~以这个函数为例。

我们算一阶导，二阶导，三阶导.....

当我们代入x=0，以及在多重导的情况下，存在两种情况，第一，常数项被导没，第二，存在有x的项数代入x= 0，也没了。

在这种情况下，具体的三阶导，只和其系数有关。

所以，其实n阶导数，在x= 0时，导数只和n次项数前的系数，以及n的阶乘有关。

再回过来看e的x次方

一个函数f(x)，作为多项式，假设是f(x) = a + bx + cx² + dx³....，那其实常数项由a决定，b决定一阶导，c决定二阶导。。。

那如果e的x次方，使用多项式逼近，也就是上述的f(x) = a + bx + cx² + dx³....

我们知道，e的x次方，导数都是e的x次方，又在x = 0处求导，所以导数都是1。那我们就可以确定对应的a , b , c 等等所有值了。

皮亚诺公式：

进一步思考，那如果x不再趋近于0，而是趋近于1，例如，f(1)的三次方，还可以使用上面的规律吗？

是可以的，我们只需要把式子改成( x )改写成 ( x - 1 ) 就可以。

因为在构造对应的式子时，我们巧妙利用了，高阶导去除常数项，以及x = x0为零的特点，构造了对应多项式。

那我们只需要满足，在对应的点处，f(x)的n阶导数相同，那就其实可以满足对应的基本逻辑。

成立条件：只在x0时成立

这里有很重要的一句话：泰勒展开是更高阶的等价，而之前的x~sinx，只是一阶导的等价

奇思妙想：

我把f(1)，直接等价到了e乘以f(0)，这种做法是不对的。因为趋近的模式均不再成立，例如f(1)并不等于e*趋近式。

重点参考up主：考研数学王昊元《【数一147】泰勒公式的顶级理解》，他讲得真的不错。